Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Признак скрещивающихся прямых




Тема: Изучение скрещивающихся прямых

Определение понятия

 

В учебнике Шлыкова В.В. (Г11(12), 2008, с.76) предлагается следующее определение скрещивающихся прямых:

«Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат».

Следует уточнить, чем такое расположение двух различных прямых отличается от параллельности и пересечения (в последних двух случаях общая плоскость существует).

Ученики практически безошибочно могут назвать скрещивающиеся прямые на моделях и чертежах многогранников. Им помогает интуитивное представление о прямых, которые не пересекаются и не параллельны. Учителю следует уточнить, что доказать, что прямые скрещиваются ученики пока не смогут. Для этого будет получен признак.

При изучении этой темы проводится классификация взаимного расположения прямых в пространстве (см. Лекция 2).

Признак скрещивающихся прямых

В учебнике Шлыкова В.В. (Г11(12), 2008, с.77) предлагается следующая формулировка признака скрещивающихся прямых:

«Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся».

В • а

 

 


b

Чтобы доказать, что прямые скрещиваются, достаточно доказать, по определению, что не существует плоскость, проходящая одновременно через обе прямые. Если использовать метод «от противного» и предположить существование такой плоскости, то получаем, что через прямую а и точку В проходят две различные плоскости – противоречие с изученным свойством единственности такой плоскости. (Или: исходя из единственности плоскости, делается вывод о том, что прямая b должна лежать в заданной плоскости. А не пересекать ее). Следует провести рассуждения двумя способами.

Признак можно не формулировать в готовом виде, а ввести с помощью задачи:

В плоскости α произвольно расположены три точки А, В, С. Точка D взята вне этой плоскости. Может ли четырехугольник с вершинами в этих точках быть трапецией?

При решении этой задачи выясняется, что две стороны трапеции являются параллельными отрезками, следовательно, трапеция – плоская фигура (в отличие от произвольного четырехугольника, который может быть и пространственным). Следовательно, все четыре точки должны принадлежать одной плоскости.

1 случай: •D

• • • А В С    

 

 


Такой случай не подходит, т.к. две смежные стороны трапеции не могут лежать на одной прямой.

2 случай: • D

А • В • •С

 

 


Предположение о существовании плоскости, проходящей через эти четыре точки, приводит к противоречию с утверждением о единственности плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

• D

А • В • •С

 

В последнем случае рассматривается расположение прямых АС и ВD (АВ и СD, CB и AD)в пространстве. Так как не существуют плоскости, содержащие эти пары прямых, то прямые скрещиваются, по определению. Таким образом, получен признак срещивающихся прямых (достаточное свойство).

Имеет смысл предложить ученикам сформулировать признак иначе:

Если две прямые содержат 4 точки, которые не принадлежат одной плоскости, то они скрещиваются.

После изучения признака следует вернуться к моделям многогранников и рекомендовать ученикам обосновать свои предположения о срещиваемости прямых.

После изучения признака параллельности прямой и плоскости интересно обсудить и тот факт, что если прямая пересекает плоскость, то она не может быть параллельна ни одной прямой в этой плоскости (она может с ними скрещиваться или пересекаться).

а          
Необходимо рассмотреть важные стереометрические ситуации, часто встречающиеся в задачах:

 

α α β=c

B
a , b

c ---------------

β a?b?с

 

Рассматриваются все возможные случаи:

 

 


 

 

Благодаря анализу всех ситуаций, ученики получают важные признаки:

1. Две различные прямые, лежащие в пересекающих плоскостях, параллельны тогда и только тогда, когда они параллельны линии пересечения плоскостей.

2. Две различные прямые, лежащие в пересекающих плоскостях, пересекаются тогда и только тогда, когда они пересекают линию пересечения плоскостей в одной точке.

В сформулированной задаче можно изменить условие, задав параллельность плоскости, содержащей прямые а и в, линии пересечения плоскостей α и β.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 118; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Краткая теория. | ЖЕЛЕЗНЫЙ ЗАНАВЕС
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты