КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Признак скрещивающихся прямыхТема: Изучение скрещивающихся прямых Определение понятия
В учебнике Шлыкова В.В. (Г11(12), 2008, с.76) предлагается следующее определение скрещивающихся прямых: «Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат». Следует уточнить, чем такое расположение двух различных прямых отличается от параллельности и пересечения (в последних двух случаях общая плоскость существует). Ученики практически безошибочно могут назвать скрещивающиеся прямые на моделях и чертежах многогранников. Им помогает интуитивное представление о прямых, которые не пересекаются и не параллельны. Учителю следует уточнить, что доказать, что прямые скрещиваются ученики пока не смогут. Для этого будет получен признак. При изучении этой темы проводится классификация взаимного расположения прямых в пространстве (см. Лекция 2). Признак скрещивающихся прямых В учебнике Шлыкова В.В. (Г11(12), 2008, с.77) предлагается следующая формулировка признака скрещивающихся прямых: «Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся».
b Чтобы доказать, что прямые скрещиваются, достаточно доказать, по определению, что не существует плоскость, проходящая одновременно через обе прямые. Если использовать метод «от противного» и предположить существование такой плоскости, то получаем, что через прямую а и точку В проходят две различные плоскости – противоречие с изученным свойством единственности такой плоскости. (Или: исходя из единственности плоскости, делается вывод о том, что прямая b должна лежать в заданной плоскости. А не пересекать ее). Следует провести рассуждения двумя способами. Признак можно не формулировать в готовом виде, а ввести с помощью задачи: В плоскости α произвольно расположены три точки А, В, С. Точка D взята вне этой плоскости. Может ли четырехугольник с вершинами в этих точках быть трапецией? При решении этой задачи выясняется, что две стороны трапеции являются параллельными отрезками, следовательно, трапеция – плоская фигура (в отличие от произвольного четырехугольника, который может быть и пространственным). Следовательно, все четыре точки должны принадлежать одной плоскости. 1 случай: •D
Такой случай не подходит, т.к. две смежные стороны трапеции не могут лежать на одной прямой. 2 случай: • D
Предположение о существовании плоскости, проходящей через эти четыре точки, приводит к противоречию с утверждением о единственности плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. • D
В последнем случае рассматривается расположение прямых АС и ВD (АВ и СD, CB и AD)в пространстве. Так как не существуют плоскости, содержащие эти пары прямых, то прямые скрещиваются, по определению. Таким образом, получен признак срещивающихся прямых (достаточное свойство). Имеет смысл предложить ученикам сформулировать признак иначе: Если две прямые содержат 4 точки, которые не принадлежат одной плоскости, то они скрещиваются. После изучения признака следует вернуться к моделям многогранников и рекомендовать ученикам обосновать свои предположения о срещиваемости прямых. После изучения признака параллельности прямой и плоскости интересно обсудить и тот факт, что если прямая пересекает плоскость, то она не может быть параллельна ни одной прямой в этой плоскости (она может с ними скрещиваться или пересекаться).
α α β=c
c --------------- β a?b?с
Рассматриваются все возможные случаи:
Благодаря анализу всех ситуаций, ученики получают важные признаки: 1. Две различные прямые, лежащие в пересекающих плоскостях, параллельны тогда и только тогда, когда они параллельны линии пересечения плоскостей. 2. Две различные прямые, лежащие в пересекающих плоскостях, пересекаются тогда и только тогда, когда они пересекают линию пересечения плоскостей в одной точке. В сформулированной задаче можно изменить условие, задав параллельность плоскости, содержащей прямые а и в, линии пересечения плоскостей α и β.
|