Домашние задачи

1. С ледяной горки длиной ℓ = 10 м съезжают санки. В начальный момент

санки были неподвижны, а у подножия горки их скорость достигла v = 9 м/с. Определите коэффициент трения μ полозьев санок о лёд, если наклон горки с горизонтом составляет угол α = 30 ⁰ . Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: ℓ = 10 м; v0 = 0; v = 9 м/с;  = 300; g = 10 м/с2.

μ - ?

Решение. На санки действуют силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, сила упругости N, направленная перпендикулярно к поверхности горки, сила трения Fтр, направленная в сторону, противоположную направлению движения, т.е. Fтр направлена вверх вдоль горки. Оси координат 0х и 0у направим вдоль наклонной плоскости и нормально к ней (см. рисунок).

Нужно отметить, что равнодействующая силы тяжести mgи силы упругости N, т.е. mg+ Nнаправлена вдоль наклонной плоскости в сторону положительной полуоси 0х. Она вызывает ускоренное движение тела по наклонной плоскости, если эта равнодействующая превосходит Fтр, направленную в противоположном направлении – в сторону отрицательной полуоси 0х. В случае, когда равнодействующая равна по модулю Fтр, т.е. mg + N = - Fтр__, тело находится в покое или движется равномерно вдоль наклонной плоскости.

Для перехода от записи второго закона Ньютона в векторной форме

ma= mg+ N+ Fтр, к скалярной, спроектируем векторные величины на две взаимно перпендикулярные оси 0х и 0у. Если направление проекции вектора на ось совпадает оси координат, то ее проекция берётся со знаком «+», в противном случае – со знаком «-« :

0х: ma = mgsinα- Fтр

0у: 0 = - mgcosα + N

Fтр = μN.

Третье уравнение в записанной системе представляет собой соотношение, выражающее закон Амонтона - Кулона. Для решения системы уравнений из второго уравнения полученной системы уравнений находим N = mgcosα и подставляем в третье уравнение: Fтр = μN = μmgcosα. Подставляя полученное выражение для Fтр в первое уравнение, находим из него коэффициент трения скольжения:

Gsinα - a a

ma = mgsinα - Fтр = mgsinα - μmgcosα→ μ =---------- = tg α - ------

gcosα gcosα

Ускорение санок а находим из уравнения:

V² - V² ₀

a =------------

2t

где v и v0 – скорости санок в конце и начале пути ℓ, соответственно.

Подставляя полученное соотношение для ускорения в выражение для коэффициента трения, имеем:

V² - V² ₀

μ = tg α - ------------

2L gcosα

Из полученного выражения видно, что коэффициент трения μ< tg, так как

v > 0, a > 0, v0 = 0. Если же а = 0, то v = 0 и μ = tgα - это значение μ = tgα является предельным, санки с наклонной плоскости соскальзывать не будут, т.к. v0 = 0. Но при начальном внешнем толчке, т.е. если санкам сообщить скорость v0, направленную вниз, то санки с этой наклонной плоскости будут соскальзывать с горки равномерно. Подставляя данные, произведём вычисления:

V² - V² ₀ 9² -0

μ = tg α - ------------ = tg 30 ⁰ - ----------------------- = 0,11

2L gcosα 2*10*10* cos30⁰

2. Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены с одной стороны два груза массами m1 = 2 кг и m2 = 5 кг, а с другой стороны груз массой m3 = 3 кг. Найдите ускорение системы и силу натяжения нити, связывающей грузы 1 и 2. Нить считайте невесомой и нерастяжимой. Трение нити о блок не учитывайте. Ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.

Дано: m1 = 2 кг; m2 = 5 кг; m3 = 3 кг; g = 10 м/с2.

a = ? N - ?

Решение. Делаем рисунок к задаче. На тело 1 действует сила тяжести m1gи

сила натяжения нити N1. На тело 2 действует сила тяжести m2gи сила натяжения нити N2 (сила взаимодействия груза 2 с нижней нитью) и Т2 (взаимодействие груза 2 с верхней нитью). К грузу 3 приложены сила тяжести m3gи сила натяжения нити Т3.

Невесомость нити означает, что масса грузов много больше массы нити. По-

этому можно считать, что сила натяжения нити в любом месте нити между грузами одинакова, т.е. силы натяжения, действующие на два тела, связанные одной нитью, равны по величине. В данном случае Т2 = Т3 = Т и N1 = N2 = N.

Нерастяжимость нити позволяет считать ускорение тел, связанных одной нитью, равными по величине. В нашем случае а1 = а2 = а3 = а.

Так как суммарная масса грузов 1 и 2, висящих на одной стороне блока, больше массы груза 3, висящего на другой стороне, то грузы m1 и m2

движутся вертикально вниз, а m3 – вверх (на рисунке направления движения грузов показаны векторами ускорений а).

С учётом упомянутых условий запишем уравнения движения каждого груза

(второй закон Ньютона) в проекциях на ось 0х, направленную вертикально вниз:

m ₁ a = m ₁g - N

m ₂a = m ₂g + N - T

- m ₃a = m ₃g - T

Чтобы найти ускорение а системы сложим уравнения 1 и 2 и вычтем уравнение 3 почленно:

(m1 + m2 + m3) * a = (m1 + m2 - m3)g,

M₁ + m₂ - m₃ 2 +5 - 3

a = -------------------* g = ------------ *10 =4 m/c²

m₁ +m₂ +m₃ 2 +5 + 3

Подставляя полученное выражение для ускорения а в уравнение 1, получим

M₁ + m₂ - m₃

m₁ -------------------* g = m₁ g - N

m₁ +m₂ +m₃

откуда находим силу натяжения нити, связывающей грузы 1 и 2:

2m₁ m₂ 2*2*3

N = ---------------*g = ----------*10= 12H

M₁ +m₂ +m₃ 2+5+3

Проанализируем предельные случаи, возможные в данной задаче. Если поло-

жить массу груза m3 = 0, то грузы 1 и 2 падают свободно с ускорением свободного падения g. При этом сила натяжения N = 0.

Если же увеличивать массу груза m3, то ускорение а системы уменьшается, и, при m3 = m1 + m2 система будет в равновесии, т.е. а = 0. При этом, как и следует ожидать, N = m ₁ g.

Если уменьшать массу груза m1, то натяжение N уменьшается и обращается в нуль (N = 0) при m1 = 0.

Fтр__меньшается и__