Критерий Сэвиджа (критерий наименьших сожалений)

Критерий основан на гипотезе, что ЛПР предпочитает такое решение, при реализации которого у него возникают наименьшие сожаления.

Рассмотрим матричные игры, заданные Таблицей 1.

Допустим, ЛПР знает, что среда примет состояние y_j, он выберет такое значение x_ij, что f(x_ij,y_j) = max f(x_i,y_j).

Если ЛПР не знает истинного состояния среды, он выберет какую-то стратегию х_k. Предположим он выбрал стратегию х_k и реализовалось состояние среды y_j.

? Как оценить сожаление ЛПР?

Он сравнивает f(x_k,y_j) c f(x_ij,y_j):

f(x_ij,y_j) ≥ f(x_k,y_j).

Таким образом, критерий Сэвиджа даёт следующий алгоритм выбора наилучшего решения:

1) для всех y_j находят наилучшее решение для данного состояния:

с_j = max f(x_i,y_j)

2) для каждого исхода x_i для всех y_j находят значение потерь или сожалений:

r_ij = с_j - f(x_i,y_j)

3) получают матрицу потерь:

R = || r_ij ||

4) для каждой альтернативы находят наибольшее сожаление:

S_i = max r_ij

5) решаем задачу нахождения х_k:

S_k ≤ S_i

minmax r_ij

Пример 4: Найти решение оптимальное по критерию Сэвиджа для матрицы:

1-1 6-3 8-2 7-4 9-5

c_ij =

1-0 6-6 8-8 7-7 9-9

0 3 6 3 4 6

c_ij =

1 0 0 0 0 1

max c_ij = 6 – наибольшее сожаление.

Можно показать, что критерий Сэвиджа удовлетворяет принципу доминирования, инвариантности при перестановке, инвариантности при добавлении аддитивной постоянной.

Критерий Сэвиджа отличается от критерия Вальда тем, что для критерия Сэвиджа реализуется принцип minmax для матрицы потерь, а для критерия Вальда - maxmin для матрицы выигрышей.

Таким образом, критерий Сэвиджа тоже можно отнести к разновидности пессимистических критериев.