Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



x, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z




Читайте также:
  1. Lt;227,8<250 , следовательно, грубой ошибки в расчетах допущено не было
  2. Абсолютные и относительные величины
  3. Абсолютные и относительные величины; средние величины; ряды динамики
  4. Абсолютные и относительные погрешности
  5. Абсолютные и относительные статистические показатели
  6. Абсолютные основания
  7. Абсолютные показатели оценки эффективности капитальных вложений.
  8. Анализ зависимости статической ошибки системы от изменения управляющего воздействия на систему.
  9. Анализ значений вероятностей ошибки для различных способов приема сигнала.

По формуле (82) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (82) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (82) на W, т.е.:

 

(83)

 

Формула (83) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (83) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·xα · yβ · zγ (84)

 

Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (84) охватывает случаи, опи­санные формулами (80) и (81).

Для функциональной зависимости (84) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (83):

 

(85)

 

Подставив в (83) эти значения и значение w по (84), получим:

 

(86)

 

Откуда:

 

(87)

 

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

 

(88)

 

Окончательно получаем:

 

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| (89)

Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

 

δw=|δx|+|δy|+|δz| (90)

 

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.



Разберем другой случай. Пусть:

 

w = x + y + z (91)

 

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (83) получим:

 

(92)

 

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (92).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (92):

 

(93)

 

Тогда для функциональной зависимости (92) получим формулу для рас­чета ошибки:

 

(94)

 

Вполне естественно, что формулы (83) - (94) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (89), (90) и (94) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:



 

w= x – y (95)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

 

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.  

 

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

 

 

 

Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:

 

 

 

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

В таблице расчетных формул 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены числен­ные коэффициенты, а через x, y, zи υ - величины, непосред­ственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δzи δυ - от­носительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально воз­можная относительная ошибка искомой величины.

 

3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.

 

Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных изме­рений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.

Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне
естественно, что наиболее достоверным результатом является средне­
арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве
окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно
в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях.
Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей
уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно
большом числе измерений окончательный результат будет содержать
лишь систематическую ошибку.

Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины
вычисляется по формуле:

 

(96)

 

 

В этой формуле n - число измерений, wcp - среднеарифмети­ческое значение из всех полученных величин w т.е.:

 

wcp=Σw/n (97)

 

Ошибка, вычисляемая по (96), называется квадратичной. Из самого вида (96) ясно, что при n → ∞ ошибка Δwкв → 0.

Однако функция (96) такова, что увеличение количества измере­ний с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.

Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.

 

Таблица расчетных формул 1

 

Обозначения Расчетная формула искомой величины Формула для определения максимально возможной относительной ошибки
а w = A · x · y · z δw = δx + δy + δz
б   w = A · xα · yβ · zγ δw = αδx + βδy + γ δz
в δw = αδx + βδy + γ δz + lδυ
г δw = δx + δy + δz + δυ
д w = x ± y ± z
е w = Ax ± By ± C z
ж  
з
и w = A ± Bx
к w = A lnx
л w = A eαx δw = α x δx

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1.

 

Теплофизические свойства сухого воздуха (В=760 мм рт. с.)

 

t, °С λ∙102, Вт/(м∙К) ν∙106, м2 Pr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 160 200 250 300 2,44 2,51 2,59 2,67 2,76 2,83 2,90 2,96 3,05 3,13 3,21 3,34 3,49 3,64 3,78 3,93 4,27 4,60 13,28 14,16 15,08 16,00 16,96 17,95 18,97 20,02 21,09 22,10 23,13 25,45 27,80 30,09 32,49 34,85 40,61 48,33 0,707 0,705 0,703 0,701 0,699 0,698 0,696 0,694 0,692 0,690 0,688 0,686 0,684 0,682 0,681 0,680 0,677 0,674

 


Список литературы.

1. Исаченко В.П. и др. Теплопередача: Учебник для вузов. 4 – е изд. перераб. И доп. М.: Энергоиздат,1981.416 с.

2. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов. / С.И. Исаев, И.А.Кожинов, А.И.Леонтьев, В.И.Кофанов. М.: Высш. шк. 1979. 195 с.

3. Практикум по теплопередаче: Учебник для вузов. / А.П.Содов, Ф.Ф.Цветков, А.В.Елисеев, В.А. Осипова. М.: Энергоатомиздат, 1986.296 с.

4. Теоретические основы хладотехнике. Тепломассообмена: Учебник для вузов. / С.Н.Богданов, Н.А.Бучко, Э.И.Гуйко, Г.Н.Данилова. М.: Агропромиздат,1986. 320 с.


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 12; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты