ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ. 1) Сходимость и сумма ряда

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1) Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходи­мости ряда.

2) Теоремы сравнения.

3) Признаки Даламбера и Коши.

4) Интегральный признак сходимости ряда.

5) Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

7) Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

8) Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9) Теоремы о почленном интегрировании и почленном диф­ференцировании функционального ряда.

10) Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенно­го ряда.

11) Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12) Почленное интегрирование и дифференцирование сте­пенных рядов.

13) Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14) Разложение по степеням бинома .

15) Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

16) Разложение по степеням функций .

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Ряды и сходятся. Доказать, что ряд сходится, если

Указание. Рассмотреть неравенства .

2) Ряд сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

3) Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

Указание. Доказать и использовать неравенство .

4) Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

5) Пусть ряд сходится и . Можно ли утверждать, что сходится ряд ?

Рассмотреть пример

и

6) Пусть ряд сходится равномерно на отрезке . Доказать, что ряд также сходится равномерно на этом отрезке.

7) Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,

б) сходиться абсолютно не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

а) , отрезок произвольный;

б) отрезок

8) Показать, что функция

всюду непрерывна.

9) Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале .Можно ли его почленно дифференцировать в этом интервале?

10) Доказать, что если ряд сходится в точке ; то он сходится абсолютно .