ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

В условии заданы коэффициенты уравнения (8.9) в виде таблицы:

Приведем решение этой задачи. По условию уравнение имеет вид
x ² – 4y ² – z ² + 2x – 8y + 2z = 0.
Выделим полные квадраты и приведем уравнение к виду:
(x ² + 2x + 1) – 1 – 4(y + 1)² + 4 – (z – 1)² + 1 = 0
(x + 1)² – 4(y + 1)² – (z – 1)² = – 4

Положим x' = x + 1, ­ ­ y' = y + 1 ­ и ­ z' = z – 1. Это означает переход к новой ДПСК, которая получается из данной параллельным переносом и начало которой в т. O' (–1, –1, 1).
Теперь, наше уравнение примет вид:

­ ­ или ­ ­

(8.10)

и мы можем определить тип поверхности – однополостный гиперболоид, “нанизанный” на ось абсцисс новой ДПСК, т.е. на прямую, параллельную оси OX и проходящую через т. O' (–1, –1, 1) (заметим, что уравнение (8.10) не является в строгом смысле каноническим уравнением однополостного гиперболоида; чтобы его получить, нужно “поменять” оси O' X' и O' Z', т.е. повернуть ДПСК O' X' Y' Z' вокруг оси O' Y' на 90° по часовой стрелке).