Ре­ше­ние.

Так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

18.Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь делённую на

Ре­ше­ние.

Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Таким об­ра­зом, сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 100.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 100

19. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка делённую на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

20. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 16, а бо­ко­вая сто­ро­на — 5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Так как бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5, то ос­но­ва­ние равно 16-10=6. По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

21. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 16, а ос­но­ва­ние — 6. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Так как сто­ро­на ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 6, то его бо­ко­вая сто­ро­на 5. По фор­му­ле Ге­ро­на имеем:

Ответ: 12.

Ответ: 12

22. B 8 № 169853. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, а опу­щен­ная на нее вы­со­та — 5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты на ос­но­ва­ние. Таким об­ра­зом:

Ответ: 25.

Ответ: 25

23. B 8 № 169854. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 75.

Ответ: 75

24. B 8 № 169855. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

25. B 8 № 169856. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 75.

Ответ: 75

26. B 8 № 169857. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна , а угол между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

27. B 8 № 169858. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна 12, а угол между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 30.

Ответ: 30

28. B 8 № 169859. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 12, дру­гая равна 16, а синус угла между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 24.

Ответ: 24

29. B 8 № 169860. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 12, дру­гая равна 10, а ко­си­нус угла между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Cинус угла най­дем из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ответ: 20

30. B 8 № 169861. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 12, дру­гая равна 10, а тан­генс угла между ними равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x-число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом пло­щадь ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

Ответ: 20.

Ответ: 20

31. B 8 № 169862. Сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его пло­щадь.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны.Таким об­ра­зом,

Ответ: 100.

Ответ: 100

32. B 8 № 169863. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр квад­ра­та равен сумме длин всех его сто­рон. Таким об­ра­зом, сто­ро­на квад­ра­та равна 10. Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны.Таким об­ра­зом,

Ответ: 100.

Ответ: 100

33. B 8 № 169864. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сто­ро­на равна 12. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сто­рон. Таким об­ра­зом,

Ответ: 120.

Ответ: 120

34. B 8 № 169865. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, пе­ри­метр равен 44. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех его сто­рон. По свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но раны. Таким об­ра­зом, зная длину сто­ро­ны и пе­ри­метр по­лу­ча­ем, что вто­рая сто­ро­на равна 12. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сто­рон. Таким об­ра­зом,

Ответ: 120.

Ответ: 120

35. B 8 № 169866. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 6, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

По опре­де­ле­нию пря­мо­уголь­ни­ка все его углы пря­мые. Таким об­ра­зом, диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем длину вто­рой сто­ро­ны:

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сто­рон. Таким об­ра­зом,

Ответ: 48.

Ответ: 48

36. B 8 № 169867. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка делённую на .

Ре­ше­ние.

По опре­де­ле­нию пря­мо­уголь­ни­ка все его углы пря­мые. Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щий про­тив угла в , равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Таким об­ра­зом, одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вто­рую стро­ну:

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

37. B 8 № 169868. Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под углом и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся по­ло­ви­ны диа­го­на­лей ромба, а ги­по­те­ну­зой — сто­ро­на ромба, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем по­ло­ви­ну не­из­вест­ной диа­го­на­ли: Тогда вся не­из­вест­ная диа­го­наль равна 8.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 24.

Ответ: 24

38. B 8 № 169869. Пе­ри­метр ромба пе­ри­метр равен 40, а один из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Таким об­ра­зом,

Ответ: 50.

Ответ: 50

39. B 8 № 169870. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как все сто­ро­ны ромба равны, то сто­ро­на дан­но­го ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

40. B 8 № 169871. Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба, делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как все сто­ро­ны ромба равны, то сто­ро­на дан­но­го ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

41. B 8 № 169872. Пе­ри­метр ромба равен 24, а синус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 6. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Таким об­ра­зом,

Ответ: 12.

Ответ: 12

42. B 8 № 169873. Пе­ри­метр ромба равен 24, а ко­си­нус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 6. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Синус угла най­дем из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 12.

Ответ: 12

43. B 8 № 169874. Пе­ри­метр ромба равен 24, а тан­генс од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 6. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x-число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 12.

Ответ: 12

44. B 8 № 169875. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на ос­но­ва­ние. Таким об­ра­зом,

Ответ: 120.

Ответ: 120

45. B 8 № 169876. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, делённую на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 30.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 30

46. B 8 № 169877. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, делённую на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 30.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 30

47. B 8 № 169878. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а синус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ответ: 20

48. B 8 № 169879. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а ко­си­нус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Cинус угла най­дем из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ответ: 20

49. B 8 № 169880. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а тан­генс од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x-число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ответ: 20

50. B 8 № 169881. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD=18, BC=12, AB= , а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Угол ABH равен: Таким об­ра­зом тре­уголь­ник ABH яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным и рав­но­бед­рен­ным. Най­дем вы­со­ту BK:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 60.

Ответ: 60

51. B 8 № 169882. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 10, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD=18, BC=10, AB= , а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Угол ABH равен: Най­дем вы­со­ту BK:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 84.

Ответ: 84

52. B 8 № 169883. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD=18, BC=12, AB=6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем вы­со­ту BK:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

53. B 8 № 169884. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD=18, BC=12, AB=6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BK:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

54. B 8 № 169885. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD=18, BC=12, AB=6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, , где x-число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Най­дем вы­со­ту BK:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ответ: 30

55. B 8 № 169886. Ра­ди­ус круга равен 1. Най­ди­те его пло­щадь, де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь круга равна:

Ответ: 1.

---------------

В от­кры­том банке ответ c чис­лом .

Ответ: 1

56. B 8 № 169887. Най­ди­те пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра, если ра­ди­ус круга равен 3, а угол сек­то­ра равен . В от­ве­те ука­жи­те пло­щадь, де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь сек­то­ра равна:

Ответ: 3.

---------------

В от­кры­том банке ответ с чис­лом

Ответ: 3

57. B 8 № 169888. Най­ди­те пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра, если длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его дуги равна , а угол сек­то­ра равен . В от­ве­те ука­жи­те пло­щадь, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Най­дем ра­ди­ус сек­то­ра из фор­му­лы длины дуги:

.

Пло­щадь сек­то­ра равна:

Ответ: 27.

---------------

В от­кры­том банке ответ с чис­лом

Ответ: 27

58. B 8 № 169889. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен , а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка делённую на .

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рой катет тре­уголь­ни­ка из опре­де­ле­ния тан­ген­са:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

Ответ: 50.

При­ме­ча­ние:

Вто­рой катет можно было найти при по­мо­щи тео­ре­мы Пи­фа­го­ра.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

59. B 8 № 169890. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен , ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен , а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка делённую на .

Ре­ше­ние.

Катет, ле­жа­щий про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, таким об­ра­зом, AC=10. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

Ответ:50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

60. B 8 № 169891. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен , а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на .

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рой катет по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

Ответ: 50.

При­ме­ча­ние:

Вто­рой катет можно было найти из опре­де­ле­ния тан­ген­са.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

61. B 8 № 169892. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен , угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен , а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка делённую на .

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рой катет по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

Ответ: 50.

При­ме­ча­ние:

Вто­рой катет можно было найти из опре­де­ле­ния тан­ген­са или из свой­ства угла, ле­жа­ще­го на­про­тив

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

62. B 8 № 169893. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

Ответ: 25

63. B 8 № 169894. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

64. B 8 № 169895. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

65. B 8 № 169896. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

66. B 8 № 169897. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Ге­ро­на.

Ответ: 25

67. B 8 № 169898. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен , длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Катет ле­жа­щий про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Таким об­ра­зом, AD=5. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, имеем

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Вто­рую сто­ро­ну можно было найти из опре­де­ле­ния си­ну­са.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

68. B 8 № 169899. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен , длина этой сто­ро­ны равна 5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Най­дем вто­рую сто­ро­ну по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, имеем

Ответ: 25.

При­ме­ча­ние:

Вто­рую сто­ро­ну можно было найти из опре­де­ле­ния си­ну­са.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

69. B 8 № 169900. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 50

70. B 8 № 169901. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

71. B 8 № 169902. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

72. B 8 № 169903. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

73. B 8 № 169904. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 50

74. B 8 № 169905. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

75. B 8 № 169906. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 50

76. B 8 № 169907. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

дубль 169903.

77. B 8 № 169908. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 50.

Ответ: 50

78. B 8 № 169909. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 50

79. B 8 № 169910. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 50

80. B 8 № 169911. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — 10, а угол, из ко­то­ро­го вы­хо­дит эта диа­го­наль, равен . Най­ди­те пло­щадь ромба де­лен­ную на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 50

81. B 8 № 169912. Ра­ди­ус круга равен 3, а длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его окруж­но­сти равна . Най­ди­те пло­щадь круга. В ответ за­пи­ши­те пло­щадь де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь круга равна имеем:

Ответ: 9.

----------

В от­кры­том банке ответ с чис­лом .

Ответ: 9

82. B 8 № 169913. Най­ди­те пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра, если длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его дуги равна , угол сек­то­ра равен , а ра­ди­ус круга равен 9. В ответ ука­жи­те число де­лен­ное на

Ре­ше­ние.

Пло­щадь сек­то­ра равна имеем:

Ответ: 27.

Ответ: 27

83. B 8 № 311332. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке . Най­ди­те , если вы­со­та .

Ре­ше­ние.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та, опу­щен­ная на ос­но­ва­ние делит ос­но­ва­ние по­по­лам, то есть делит по­по­лам. Тогда по­лу­ча­ем пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с двумя из­вест­ны­ми ка­те­та­ми и ги­по­те­ну­зой ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся ис­ко­мая По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Ответ: 13.

Ответ: 13

84. B 8 № 311375. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке . Най­ди­те , если вы­со­та .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

.

Так как вы­со­та в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, то

Ответ: 12

85. B 8 № 311387. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ник ABC - пря­мо­уголь­ный, то . Имеем:

Ответ: 21

86. B 8 № 311399. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Так как тре­уголь­ник ABC - пря­мо­уголь­ный, то . Имеем:

Ответ: 33

87. B 8 № 311411. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 см и 10 см. Диа­го­наль тра­пе­ции делит сред­нюю линию на два от­рез­ка. Най­ди­те длину боль­ше­го из них.

Ре­ше­ние.

Пусть KN- сред­няя линия тра­пе­ции, где L- точка пе­ре­се­че­ния с диа­го­на­лью.

Так как KN- сред­няя линия тра­пе­ции , то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

,

.

Таким об­ра­зом, длина боль­ше­го от­рез­ка равна 5 см.

Ответ: 5

88. B 8 № 311475. Диа­го­наль тра­пе­ции делит её сред­нюю линию на от­рез­ки, рав­ные 4 см и 3 см. Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.