Отношения между множествами

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие множества

Одно из основных понятий современной математики – понятие множества. Оно является первичным, т. е. не поддается определению через другие, более простые понятия. С понятием множества мы встречаемся довольно часто: буквы русского алфавита образуют множество, числа так же образуют множество.

Элементы множества это из чего состоит данное множество.

Множества, которые состоят из конечного числа элементов, называются конечными множествами. К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента.

Способы задания множества

Произвольные множества будем обозначать прописными, а элементы множества – строчными буквами латинского алфавита, пустое множество – символом Ø.

Существуют два различных способа задания множества. Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита запишется так: А = {а, б, в, ..., ю, я}.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, – характеристическим.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x – входящий в него объект, то символическая запись x Î A означает, что xявляется элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x Ï А.

Отношения между множествами

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Джон Венн (1834 - 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Леонард Эйлер (1707 - 1783) для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества. Такие изображения сейчас называют диаграммами Эйлера - Венна.

Пусть даны два произвольных множества A и B, тогда возможны пять случаев отношений между ними:

1. Множества A и B не имеют общих элементов (см. рис. 1а).

2. Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B , и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B (см. рис. 1б).

3. Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят о включении множества В во множество А (см. рис. 1в).

Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Записывается это так: В Ì А.

Само множество A и пустое множество Øназывают несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества называются собственными.

4. Все элементы множества A принадлежат множеству B, но не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о включении множества A во множество B (А Ì В) (см. рис. 1г).

5. Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны (см. рис. 1д).

Определение: а) Два множества A и B называются равными (или совпадающими), если А Ì В и В Ì А.

б) Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается это так: А = В.

 

а) б) в) г) д)

Рис. 1

Определение: Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.