Второй замечательный предел.

Необходимые дополнительные сведения!!!.

Число является основанием логарифма, называемого НАТУРАЛЬНЫМ. .

Тогда

Очевидно, что , так как , кроме этого при числовом показателе степени, например 2, -3 и т.п. – предел равен одному!!

** Обратите внимание, что только при показателе степени, равном х , предел имеет вид

2-го замечательного предела

Если формулу 2-го замечательного предела прологарифмировать – то есть взять натуральный логарифм от обоих частей выражения, то получим

Выполнив замену в формуле на и следовательно и перейдя к обычному аргументу х, и получим новую формулировку для 2-го замечательного предела

Используя уже разобранные приемы, можно получить следующие формулы

Часто в таких пределах приходится выполнять действие выделения целой части алгебраической дроби. Оно основано на разделении дроби, имеющей в числителе сумму, на сумму дробей с одинаковыми знаменателями, например:

Это возможно и в дробях с более сложными знаменателями.

** Выделение целой части дроби возможно и делением многочлена числителя дроби на многочлен знаменателя.

Пример 1.Вычислить предел функции

Для приведения предела к основному виду можно выполнить замену переменной. Так как в основном виде 2-го замечательного предела в основании степени должно быть записано

, то нужно заменить на новую переменную

Исходя из этого, . Предел принимает вид

Используем свойства степеней:

и и преобразуем предел

Очевидно, что как второй замечательный предел, а и, следовательно,

Пример 5.Вычислить предел функции

Выделим целую часть дроби

Выполним замену переменной так же, как в предыдущем примере . Отсюда следует, что и .

Подставим поученные замены в предел и воспользуемся действиями, рассмотренными в предыдущем примере: