Взаимно однозначные и биективные соответствия.

Равномощные множества.

Пусть даны два множества А и В.

Между множествами установлено биективное соответствие (биекция), если каждому элементу множества А поставлен в соответствие единственный элемент множества В и обратно: каждому элементу множества В — единственный элемент из А. Биекцию иногда называют взаимно однозначным соответствием. Если между двумя множествами можно установить биективное соответствие, то эти множества называют равномощными или эквивалентными. Если множества А и В эквивалентны, то это записывают так: А ~ В.

Очевидно, что если А ~ В, В ~ С, то А ~ С.

Множество A называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Пустое множество также причисляется к конечным множествам.

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число элементов.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Бесконечные множества, эквивалентные множеству чисел натурального ряда, называются счетными множествами. Мощность счетного множества обозначается через À₀ и называется алеф-нуль.

Некоторые свойства бесконечных множеств:

1. Любое подмножество счетного множества конечно или счетно.

2. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Счетное множество является наименьшим из всех бесконечных множеств.

3. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Если множество бесконечно и не равномощно множеству натуральных чисел, то оно называется несчетным множеством. К несчетным множествам относится, например, множество всех точек интервала (0, 1). Говорят, что множество точек интервала (0, 1) имеет мощность континуума, которую обозначают символом с.

4. Если из несчетного множества А удалить конечное или счетное множество М, то мощность множества A не изменится.

5. Если к бесконечному множеству добавить конечное или счетное множество, то его мощность не изменится.

6.Теорема Кантора-Бернштейна: если множество А эквивалентно подмножеству множества В, а В эквивалентно подмножеству множества А, то А эквивалентно В.

7. У всякого бесконечного множества существует собственное подмножество (подмножество, не совпадающее с самим множеством), эквивалентное этому множеству.

Задачи

144. Приведите примеры равномощных множеств а) конечных; б) счетных; в) мощности континуума.

145.Между какими из заданных множеств можно установить биекцию:

A = {1, 2, 3, 4, 5,}, B = { &, %, #, Ú, «}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11},

D = {2n | n ÎN}, Е= {x | x = }.

146.Какие из следующих множеств равномощны? Укажите мощность этих множеств: N, C = { , , , …, , …}, A = {2n+1 | n Î N}, B = {n² | n ÎN}, D = {x | x Î Q}, E = Z.

147. Установите биекцию:

а) между множеством S нечетных натуральных чисел и множеством N всех натуральных чисел;

б) между множеством N и множеством Z всех целых чисел;

в) между множеством Z⁺ целых неотрицательных чисел и множеством N;

г) между множеством Q⁺ неотрицательных рациональных чисел и множеством N.

Решение г) Запишем каждое число r Î Q⁺ в виде несократимой дроби и назовем высотой числа сумму числителя и знаменателя. Ясно, что имеется лишь конечное множество неотрицательных рациональных чисел данной высоты. Расположим все неотрицательные рациональные числа в последовательность в порядке возрастания их высот. На первое место поместим число 0 = (это число высоты 1), затем – число высоты 2 (число ), далее – числа высоты 3 (числа , ) и т.д. Если какую-либо высоту имеют несколько различных рациональных чисел, то они располагаются в порядке возрастания. Таким образом, все элементы данного множества Q⁺ расположатся в виде следующей последовательности:

0, 1, , 2, , 3, , , , 4, …

Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу r из Q⁺ тот номер, который это число занимает в нашей последовательности; это соответствие является биекцией между множествами Q⁺ и N.

148. Найдите мощность множества точек: а) параболы; б) гиперболы;

149.Покажите равномощность множества точек прямой и множества точек интервала (0, 1).

Решение.

Для того, чтобы показать равномощность интервала и прямой, необходимо установить между ними биекцию. На координатной плоскости рассмотрим полуокружность с радиусом 0,5 и центром в точке С (0,5;0,5) (см. рис.) и прямую, касательную к окружности в точке (0,5; 0), – ось Ох. Каждую точку х из интервала (0,1) проектируем на полуокружность по направлению перпендикуляра к прямой Ох в точку М_х. Затем из центра С окружности проводим луч через точку M_x. до пересечения с осью Ох в точке x'. Таким образом, каждой точке интервала ставится в соответствие точка на оси Ох. Пусть теперь точка х интервала рассматривается как точка прямой. Посмотрим, какая точка ей отвечает на интервале. Для нахождения этой точки проведем прямую хС и найдем пересечение ее с полуокружностью. Пусть это будет точка К. Опустим перпендикуляр из точки К на ось Ох. Он пересечет Ох в точке х¹.В построенном выше отображении х¹ перейдет в точку х. Таким образом, соответствие, при котором точке х интервала (0, 1) ставится в соответствие точка x' оси Ох, является биективным. Задача решена.

150.Докажите равномощность множества точек луча [0, +¥) и множества точек промежутка [0, 1).

Указание. Используйте метод, которым решена предыдущая задача.

151.Докажите, что окружность и интервал равномощны.

152. Установите биекцию между отрезками:

1) 2) 3)