Теоретическое введение. Распределение Максвелла

Распределение Максвелла

Цель работы: применение распределения Максвелла для расчета частоты ионизации атомов электронным ударом

Теоретическое введение

Статистика Максвелла – распределение по скоростям (кинетическим энергиям) частиц физической системы, находящейся в состоянии равновесия, в отсутствие внешних полей при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Функция распределения позволяет рассчитать относительное количество частиц dN/N, скорости которых окажутся около значения :

. (1)

Распределение Максвелла не зависит от конкретных особенностей взаимодействия частиц и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно описание с помощью классической физики. Классический подход применим при температурах Т частиц, значительно превышающих температуру вырождения Т_g:

, (2)

где m – масса частицы, n – концентрация частиц, k = 1,38×10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана, h = 6,626×10^-34 Дж×с – постоянная Планка. Например, чтобы определить, можно ли применить распределение Максвелла к электронному газу, в критерий (2) следует подставить массу и концентрацию электронов.

В случае многоатомных молекул распределение Максвелла имеет место для движения их центров масс и не зависит от внутримолекулярного движения, даже в том случае, когда для описания последнего необходимо использовать законы квантовой механики.

Различают функции распределения (ФР) Максвелла по компоненте скорости j(v_x), по модулю скорости F(v) и по кинетической энергии частицы F(E).

1) ФР по компоненте скорости частиц:

, (3)

2) ФР по модулю скорости частиц:

, (4)

Функция F(v) имеет локальный максимум при скорости , называемой наиболее вероятной.

3) ФР по кинетическим энергиям частиц E = mv²/2:

, (5)

Чтобы перейти от распределения по модулю скорости (4) к распределению по кинетическим энергиям (5), необходимо не только подставить известное соотношение между скоростью и кинетической энергией поступательного движения частицы

, (6)

но и учитывать связь функций распределения при замене аргумента:

. (7)

В электронике для энергии часто используют не единицу системы СИ (Джоуль), а внесистемную единицу – электронвольт (эВ). 1 эВ = 1,6×10^-19 Дж – энергия, которую приобретает электрон, пройдя в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов 1 В. Если применить (5) к электронам, выразив их кинетические энергии и температуру в эВ, т.е. произвести замены: E[Дж] ® eE[эВ], kT[Дж] ® eT_e[эВ], распределение (5) принимает вид:

. (5а)

Максвелл использовал для обоснования распределений (3) – (5) принцип детального равновесия: каждый микропроцесс в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, протекает с той же скоростью, что и микропроцесс, обратный ему.

Прямой процесс при упругом столкновении двух частиц заключается в скачкообразном изменении их скоростей: , где v₁, v₂ – скорости первой и второй частиц перед столкновением, v₃, v₄ – скорости этих же частиц после столкновения. При этом должна сохраняться суммарная кинетическая энергия столкнувшихся частиц:

. (8)

Обратный процесс: , - в данном случае начальные и конечные значения скоростей сталкивающихся частиц меняются местами.

Из формулировки принципа детального равновесия следует уравнение, связывающее значения ФР для скоростей двух частиц, соответствующих начальному и конечному состояниям столкновительного процесса:

. (9)

Максвелл доказал, что ФР , удовлетворяющая уравнению (9) при условии сохранения энергии (8), имеет вид (3). При помощи распределения Максвелла можно вычислить среднее значение любой функции скорости G(v) или энергии U(E) частиц:

, . (10)

Наиболее простые примеры усреднения по ФР:

- cредняя квадратичная скорость v_ms:

- средний модуль скорости v_a: .

Дж. Дж. Томсон описал процесс ионизации атомов газа электроном с помощью найденной теоретически зависимости частоты ионизации n_i от кинетической энергии электрона E:

, (11)

в которой a₀ = 5,29×10^{-11 м – радиус атома водорода, W}_H = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода, W_a – энергия ионизации атома в эВ, n_a - концентрация атомов газа, e = 1,6×10^-19 Кл, m = 9,1×10^{-31 кг} – заряд и масса электрона, кинетическую энергию электрона E в формулу (11) следует подставлять в эВ.

Частотой ионизации называется количество ионизаций атомов, производимых одним электроном в единицу времени; физическая размерность этой величины 1/с. Однако, поскольку кинетические энергии электронов разные, чтобы количественно описать процесс ионизации атомов при столкновениях с электронами, необходимо усреднить частоту ионизации, используя функцию распределения электронов по энергиям:

(12)

Обычно для таких вычислений используют методы численного интегрирования, реализация в среде Mathcad позволяет не только рассчитать среднюю величину, но и исследовать ее зависимость от какого-либо параметра, например, от температуры электронов T_e.