ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Лабораторная работа

«Доска Гальтона»

по предмету

«Разработка информационных систем в управлении качеством»

Выполнили: студент группы УО-04 Горелкин А.Е.

студент группы УО-04 Дегтярев А.И.

Проверил: Копылов О.А.

Королев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

"ДОСКА ГАЛЬТОНА"

Постановка задачи

Ф.Гальтон (1822 - 1911) - английский биолог, занимавшийся вопросами математической статистики. Для проведения экспериментов Гальтон использовал различные простейшие приспособления и приборы. Одним из таких приборов является доска Гальтона. Ее устройство представлено на рис.1.

Доска Гальтона имеет несколько рядов тонких, гладких штырей. Внизу имеется несколько карманов. Располагается она под небольшим углом к горизонтальной плоскости.

Рис.1

На первый верхний штырь доски устанавливается шар, как показало на рис.1. Диаметр шара d должен быть незначительно меньше расстояния между соседними штырями в одном ряду d₁ и расстояния между соседними рядами штырей d_l, т.е. d₁=d+Δd. Это обеспечивает свободное прохождение шара между штырями. Если шар, расположенный у верхнего штыря, отпустить, то он, ударяясь о штыри последующих рядов, скатится в один из карманов доски.

Ф. Гальтон использовал эту доску для изучения законов распределения случайных величин. Студентам следует разработать имитационную модель, отражающую эксперименты Ф. Гальтона с доской.

В процессе выполнения программы необходимо ввести информацию на запрос ВВЕДИТЕ КОЛ-ВО ШАРОВ?

Задание.

1. Разработать имитационную модель процесса работы доски Гальтона.

2. В результате работы над моделью определить детерминированные и стохастические факторы.

3. Разработайте формализованное описание и моделирующий алгоритм модели работы доски Гальтона.

4. Постройте блок схему вашего алгоритма.

5. Разработайте проект интерфейса вашей программы.

6. Напишите программу на языке Pascal в среде Delphi.

Ответьте на следующие контрольные вопросы.

1. Априорно укажите расположение большего числа шариков в кар­манах доски. Подтвердите свои выводы расчетами.

2. Модель "Доска Гальтона" является детерминированной или стохастической?

3. Какие факторы в модели являются детерминированными, а какие стохастическими?

4. Модель является статической или динамической? Почему?

5. Что будет происходить с шариком, если значительно увеличить наклон доски к горизонтальной плоскости? Как это отразится на имитационной модели?

6. Сколько нужно провести экспериментов (натурных или имитационных) с доской Гальтона, чтобы быть уверенным в их результатах?

Выполнение задания:

1. Результатом разработки имитационной модели является модель, описывающая распределение шариков по карманам в системе «Доска Гальтона», воплощенная в программе «Доска Гальтона», разработанной в среде Delphi7.

2. Были определены переменные, которые определяются независимо от ДСЧ (датчика случайных чисел) – детерминированные (определенные); и переменные, которые определяются зависимо от ДСЧ – стохастические (случайные).

Стохастическим фактором является ДСЧ.

3. Формализованным описанием модели работы доски Гальтона в данном случае является компьютерная программа, как описание последовательности ее состояний (а в данном случае последовательности состояний информационной среды).

Моделирующий алгоритм работы доски Гальтона в данном случае представлен в виде блок-схемы (Приложение 2).

4. Была построена блок-схема алгоритма (Приложение 2).

5. Был разработан проект интерфейса программы.

В форму программы было решено включить следующие элементы:

- заглавную надпись;

- две вспомогательных надписи;

- два окна ввода данных;

- таблицу вывода данных;

- кнопку «Запуск».

6. Была написана программа на языке Pascal в среде Delphi. (код программы в Приложении 1).

Ответы на контрольные вопросы (с пояснениями):

1. Априорно укажите расположение большего числа шариков в карманах доски. Подтвердите свои выводы расчетами.

Ответ: Априорно большее количество шариков находится в клетках, которые ближе к среднему карману (количество карманов, деленное на

Пояснение:

Априорно большее количество шариков при любом количестве рядов штырей, а, следовательно, и карманов, находится в клетках, которые ближе к среднему карману (количество карманов, деленное на 2).

Для подтверждения нет необходимости в расчетах, т.к. при малом количестве испытаний (шариков) на доске Гальтона действует биноминальное распределение, которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение, кривые плотностей распределения вероятностей этих распределений представляют собой подобие «купола», который достигает максимального значения ближе к центральному карману, т.е. μ — среднему значению (математическому ожиданию) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения.

2. Модель "Доска Гальтона" является детерминированной или стохастической?

Ответ: Стохастической.

Пояснение:

Модель «Доска Гальтона» является стохастической, т.к. она демонстрирует распределение случайных величин по биноминальному или нормальному законам.

Тем не менее, в ней (даже в результатах расчетов данной модели) присутствуют детерминированные (определенные) факторы, например «количество карманов», которое на единицу больше вводимого количества рядов штырей. Также и детерминированные и стохастические факторы имеются в программном коде программы.

3. Какие факторы в модели являются детерминированными, а какие стохастическими?

Ответ: Стохастическим фактором является ДСЧ, остальные факторы – детерминированные.

Пояснение:

Те переменные, которые определяются независимо от ДЧС – детерминированные (определенные); которые зависимо от ДСЧ – стохастические (случайные).

4. Модель является статической или динамической? Почему?

Ответ: Динамической.

Динамическая модель – изменяющаяся во времени, а статическая – не изменяющаяся.

Несмотря на то, что при каждом новом подсчете, при одних и тех же вводимых данных, модель может выдать слегка разнящиеся результаты, не стоит называть ее исключительно динамической, т.к. величины подчиняются нормальному закону распределения, который описывает распределение независимо от изменения времени, в которое программа запускается. Тем не менее, она не является и полностью статической, т.к. в ней моделируется процесс перехода шарика во времени от одного штыря к другому и в итоге - в карман. Также меняется сама система с вводом в систему новых шариков. В данной трактовке она больше динамическая, чем статическая.

Если рассматривать саму модель, а не математическое обоснование и результаты, представляемые в интерфейсе, то модель динамическая.

5. Что будет происходить с шариком, если значительно увеличить наклон доски к горизонтальной плоскости? Как это отразится на имитационной модели?

Ответ: Шарик будет катиться медленнее, на модели это не отразится.

Пояснение:

Если наклонить доску еще больше в сторону ее первоначального наклона, не наклоняя вправо-влево, то закон распределения не изменится, а останется неизменным. Шарик также распределится по биноминальному или нормальному закону, как и было ранее.

В имитационной модели увеличение наклона не отразилось бы на ее работе.

6. Сколько нужно провести экспериментов (натурных или имитационных) с доской Гальтона, чтобы быть уверенным в их результатах?

Ответ: Нельзя быть полностью уверенным в результатах, полученных эмпирическим путем.

Если речь идет о количестве шариков, как о количестве экспериментов, то биноминальный закон в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение, плотность распределения вероятностей которого представляет собой «купол» с плавными линиями, где значениям, находящимся в интервале рядом с математическим ожиданием можно доверять, а значениям, в диапазонах находящихся на большом расстоянии от математического ожидания, доверять не рекомендуется (для этого устанавливается доверительный интервал).

К количеству опытов это не имеет особого отношения, и мы считаем, что нельзя быть полностью уверенным в результатах, полученных эмпирическим путем.