Первое правило Лопиталя

ЛЕКЦИЯ

Тема: «Предел функции»

План:

1) Определение предела

2) Односторонние пределы

3) Бесконечные пределы

4) Свойства пределов

5) Замечательные пределы и следствия из них

6) Бесконечно малая функция и ее свойства

7) Эквивалентные функции

1. Определение предела

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Рис. 1. Предел функции y = x2 при x → 2.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Пример: Предел функции в точке a = 0 равен 0:

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

2. Односторонние пределы

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и .

3. Бесконечные пределы

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Пример: функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел

Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Пример:

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство

|f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности:

Пример:

Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε.

Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

4. Свойства пределов

1) Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.

2) Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x),

и если

,

то существует

3) Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство

f (x) < g (x),

и если то A ≤ B.

4) Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем то

• ,
• 
• если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.

5. Замечательные пределы

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:

• Первый (тригонометрический) замечательный предел

Следствия:

• Второй замечательный (показательно-степенной) предел

Следствия:

6. Бесконечно малая функция и ее свойства

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Функция x = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке.

Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

Свойства:

• Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.

· Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

7. Эквивалентные функции

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), , то функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a:

f (x) ~ g (x).

Пример: функции и эквивалентны при x → 0, так как а второй множитель стремится к 1 при x → 0.

Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.

* Правила Лопиталя (не обязательно)

Правила Лопиталя - очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности или .

Первое правило Лопиталя

Рассмотрим функции , которые бесконечно малы в некоторой точке . Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Производные берутся ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. Пожалуйста, не путайте с правилом дифференцирования частного !!!

«Икс» может стремиться куда угодно, в том числе, к бесконечности – лишь бы была неопределённость .

Пример:

1)

К неопределённости 0:0 применим первое правило Лопиталя:

Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

2)

Применим правило Лопиталя: