КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ортогональне проектування. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Ортогональне проектування. Двогранний кут. План.
1. Ортогональне проектування. 2. Кут між площинами. 3. Двогранний кут.
Рекомендована література.
Математика: Підручник / О.М.Афанасьєва, Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. 447с. Розділ 3.§ 5.п 5.3.
Дайте письмові відповіді на запитання. Запишіть формулу площі ортогональної проекції.
Ортогональне проектування.
Окремими випадком паралельного проектування є ортогональне проектування.
Паралельне проектування, напрямок якого перпендикулярний до площини проекції, називають ортогональним проектуванням. Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.
Важливою є наступна теорема.
Теорема про площу ортогональної проекції. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.
Доведення.
Розглянемо спочатку трикутник і його проекцію на площину, яка проходить через одну з його сторін (рис.1) Проекцією трикутника АВС є трикутник АВС1 у площині . Проведемо висоту СD трикутника АВС. За теоремою про три перпендикуляри відрізок С1D – висота трикутника АВС1. Кут СDС1 дорівнює куту φ між площиною трикутника АВС і площиною проекції . Маємо: C1D=CD cos φ , SABC=1|2AB∙CD, SABC=1|2AB∙C1D.
Звідси SABC=SABC∙ cos φ.
Таким чином , для розглядуваного випадку теорема правильна.
Теорема правильна і для випадку , коли замість площини візьмемо будь-яку паралельну їй площину. Справді, при проектуванні фігури на пара – лельні площини її проекції суміщаються паралельним перенесенням у напрямі проектування. А суміщені паралельним перенесенням фігури рівні. Розглянемо тепер загальний випадок . Розіб’ємо даний многокутник на трикутники. Кожний трикутник, який не має сторони , паралельної площині проекції , розіб’ємо на два трикутники із спільною стороною , паралельною площині проекції як це показано для чотирикутника АВСD (рис. 2). Тепер для кожного трикутника ∆ нашого розбиття і його проекції ∆/ запишемо рівність S∆ / = S∆∙cos φ.
Всі ці рівності додамо почленно. Тоді дістанемо зліва площу проекції многокутника, а справа – площу самого многокутника, помножену на cos φ.
Теорему доведено.
Ортогональне проектування широко застосовується в технічному кресленні.
|