Ортогональне проектування.

Ортогональне проектування.

Двогранний кут.

План.

1. Ортогональне проектування.

2. Кут між площинами.

3. Двогранний кут.

Рекомендована література.

Математика: Підручник / О.М.Афанасьєва, Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. 447с.

Розділ 3.§ 5.п 5.3.

Дайте письмові відповіді на запитання.

Запишіть формулу площі ортогональної проекції.

Ортогональне проектування.

Окремими випадком паралельного проектування є ортогональне проектування.

Паралельне проектування, напрямок якого перпендикулярний до площини проекції, називають ортогональним проектуванням. Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.

Важливою є наступна теорема.

Теорема про площу ортогональної проекції. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Доведення.

Розглянемо спочатку трикутник і його проекцію на площину, яка проходить через одну з його сторін (рис.1) Проекцією трикутника АВС є трикутник АВС1

у площині . Проведемо висоту СD трикутника АВС. За теоремою про три перпендикуляри відрізок С1D – висота трикутника АВС1. Кут СDС1 дорівнює куту φ між площиною трикутника АВС і площиною проекції . Маємо:

C1D=CD cos φ , SABC=1|2AB∙CD, SABC=1|2AB∙C1D.

Звідси SABC=SABC∙ cos φ.

Таким чином , для розглядуваного випадку теорема правильна.

Теорема правильна і для випадку , коли замість площини візьмемо будь-яку паралельну їй площину. Справді, при проектуванні фігури на пара –

лельні площини її проекції суміщаються паралельним перенесенням у напрямі проектування. А суміщені паралельним перенесенням фігури рівні.

Розглянемо тепер загальний випадок .

Розіб’ємо даний многокутник на трикутники. Кожний трикутник, який не має сторони , паралельної площині проекції , розіб’ємо на два трикутники із спільною стороною , паралельною площині проекції як це показано для чотирикутника АВСD (рис. 2). Тепер для кожного трикутника ∆ нашого розбиття і його проекції ∆/ запишемо рівність S∆ / = S∆∙cos φ.

Всі ці рівності додамо почленно. Тоді дістанемо зліва площу проекції многокутника, а справа – площу самого многокутника, помножену на cos φ.

Теорему доведено.

Ортогональне проектування широко застосовується в технічному кресленні.