КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные числовые множества.
- множество натуральных чисел.
- целые числа.
- множество рациональных чисел.
R ….. – множество действительных чисел, эти числа выражаются десятичными дробями, или бесконечными дробями.
U – множество иррациональных чисел.

можно составить цепочку

• Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид.
путь , < , тогда а – это левый, b – это правый концы промежутка.
- называется отрезком или замкнутым интервалом.
- открытый промежуток.
- полуоткрытый интервал.
- полуоткрытый промежуток.
- полубесконечный интервал.
- полубесконечный интервал.
- полубесконечные интервалы, с одной стороны замкнуты.
- бесконечный интервал.
• Определение. Пусть точка , окрестностью этой точки называется любой интервал от (а, b) содержащий т. . Для (любого ) 0 окрестность ( ) называется - окрестностью точки , где называется центром окрестности, а - радиусом окружности.

Для любого х принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство < .
или
- < < 
- + < < + 
Определение функции. Способы задания.
Определение.Даны два не пустых множеств х и у, соответствие f которых каждому элементу множества сопоставляет один и только один элемент множества называется функцией и записывается 


не является функцией, является функцией не является функцией, т. к.
т. к. не для каждого x одному х соответствует
существует свой у. несколько у
Множество х называется областью определения функции. Обозначается Д (f)
Множество У называется множеством значений функций, обозначается Е (f).
Если элементы множества Х и У действительно числа, то функция f называется числовой. Элемент х называется аргументом (не зависимой переменной), элемент у – функцией (зависимой от х переменной). В этом случае говорят, что х и у находятся в функциональной зависимости.
• Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости по Оху, для каждой из которых х – значение аргумента, а у – соответствующее ему значение функции.
Основные способы задания функции:
1. аналитический - функция задается в виде нескольких формул или уравнений.
2. табличный, т. е. функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих этим значениям значений функций.
3. графический- функция задается графиком функций.
• График функций можно построить с помощью преобразований графиков известных функций.
Пусть известен график функции y = f(x).
1) гр. ф. 
получается из графика функции f(x) сдвигом вдоль оси у на единиц (если а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз).
2) получается из графика функций f(x) сдвигом вдоль оси х на единиц (если < 0, то вправо, если > 0, то влево).
3) график функции получается из графика функции f(x) растяжением вдоль оси у в k раз.
4) график функции получается из графика функции f(x) сжатием в m раз вдоль оси Ох.
5) график функции получается из графика функции f(x) симметричным отображением относительно оси Ох.
6) получается из графика функции f(x) симметричным отображением относительно оси Оу.
Свойства функций:
1) Четность.
Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функциисиметричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

2) Монотонность.
Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2> x1 следует f ( x2) > f ( x1 ), то функция f ( x )называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2> x1 следует f ( x2) < f ( x1), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
3) Ограниченность.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
4) Периодичность.
Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшеечисло называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Пример. Доказать, что sin x имеет период 2
Решение. Мы знаем, что sin ( x+ 2 n ) = sin x, где n = 0, 1, 2, … Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не меняет его значениe. Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin ( x+ P ) = sin x, справедливо для любого значения x.
Но тогда оно имеет место и при x = / 2 , т.e. sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.
Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P.
Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2 n.
Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число и есть период sin x.
Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2 n ) = sin [ 2 ( x + n)]Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число из n есть таким образом, это период sin 2x .
5) Обратная функция.
определение обратной функции. Пусть дана функция y=f(x), x X. Она определена на множестве X, т.е. D(f)=X. Обозначим её множество значений через Y, т.е. E(f)=Y. Тогда, как мы уже отмечали, функция y=f(x) задает отображение f множества X на множество Y. Может случиться так, что это отображение обратимо. Тогда обратное отображение f -1 множества Y на множество X называют обратной функцией и пишут f -1:Y→X или x=f -1(y), yY. Равенство x=f -1(y) называется обратным правилом.
Выясним, для каких функций имеются обратные. Сравним две функции, графики которых изображены на рис.3. Обе они задают отображение отрезка [a;b] на отрезок [c;d]. Функция y=f(x) обладает следующим свойством прообраз любого элемента y0[c;d] состоит только из одной точки. А y=f(x) подобным свойством не обладает: так как прообраз точки y0 есть трехэлементное множество {x1;x2;x3}. Это значит, что функция y=f(x) имеет обратную, а функция y=g(x) обратной не имеет.
Монотонная и немонотонная ф-и
Теорема.Если функция y=f(x), х X монотонна на промежутке X и E(f)=Y, то для неё существует обратная x=f -1(y), y Y, причем обратная функция монотонна на Y.
График y=f -1(x) получается из графика y=f(x) с помощью преобразования плоскости xOy, переводящего точку (x;y) в точку (y;x). Этим преобразованием является симметрия относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов). Значит, чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график y=f(x) симметрично отобразить по прямой y=x.
6) Сложная функция.
Это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом.
Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sinx, то у = , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,...
7) Неявная функция.
Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида:
F(x,y) = 0, (*)
т.е. задана функция F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (*).
Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить (*) относительно y. Так как для данного значения аргумента х уравнение (*) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.
Например, функция у (у>0), определяемая уравнением , является неявной. Явно заданная функция будет иметь вид: .
8) Параметрическая функция.
В этом случае обе координаты (х и у) являются равноправными, т. е. вычисляются как функции некоего вспомогательного параметра, обозначаемого, как правило, символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:
q(t) = {x(t), y(t)},
где х(t) и y(f) — функции параметра t.
Задавая одинаковые значения t, функция x(f) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) — значения координаты у.
Можно легко представить, что значения параметра t— это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается частица в различные моменты (значения) времени f. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
Важным качеством параметрических кривых является то, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.
Пример
Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции
x(f) = cost;
y(t) = sinf
создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.
9) Гиперболические функции.
;
;
. Областью определения функций shx , chx , thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические:
ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)
sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)
ch2x–sh2x=1 , (3)
ch2x=ch2x+sh2x , (4)
sh2x=2shx · chx . (5)
Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком.
Элементарные функции и их графики
1.
| Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x ,
где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tg = k . Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
| 2.
| Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C ,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C :
| 3.
| Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k / x ,
где k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола. У этой кривой две ветви. Произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.
Основные характеристики и свойства гиперболы:
- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;
- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не
монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );
- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
- нулей функция не имеет.
| 4.
| Квадратичная функция. Это функция:
y = ax 2 + bx + c,
где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2.
График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат. Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.
График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:
Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения .Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рисунке.
| 
Основные характеристики и свойства квадратной параболы:
- область определения функции: < x+ ( т.e. x R ), а область
значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );
- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,
и непериодическая;
- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .
5.
| Степенная функция. Это функция:
y = axn,
где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n =-1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рисунках ( для n 0 и n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:
Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. Покажем две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой.
Функция (смю рисунок) является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак перед квадратным корнем ).
| 6.
| Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y =-3, y = 3 i и y =- 3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рисунке. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.
Основные характеристики и свойства показательной функции:
- область определения функции: < x<+ ( т.e. x R );
область значений: y > 0 ;
- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;
- нулей функция не имеет.
| 7.
| Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
Основные характеристики и свойства логарифмической функции:
- область определения функции: x > 0,
а область значений: < y<+
( т.e. y R );
- это монотонная функция: она возрастает при a > 1
и убывает при 0 < a < 1;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;
- у функции есть один ноль: x = 1.
| 8.
| Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком. Эта кривая называется синусоидой.
График функции y = cos x также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2
Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:
- область определения: < x <+ ,
- область значений: 1 y +1;
- эти функции периодические: их период 2 ;
- функции ограниченные ( | y | 1)
, всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции;
- функции имеют бесчисленное множество нулей.
Графики функций y = tg x и y = ctg x показаны ниже
Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ,
неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности
, разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ).
Область определения и область значений этих функций:
| 9.
| Обратные тригонометрические функции.
Графики этих функций получаются поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
|
Функции y = Arcsin x и y = Arccos x многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и < y <+ . В качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рисунках жирными линиями.
Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:
- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1 ;
их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );
- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и
x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctg x и y = Arcctg x - многозначные, неограниченные функции; их область определения: x + . Их главные значения y = arctg x и y = arcctg x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рисунках жирными ветвями.
Функции y = arctg x и y = arcctg x имеют следующие характеристики и свойства:
- у обеих функций одна и та же область определения: x + ;
их области значений: /2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
( y = arctg x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );
- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );
функция y = arcctg x нулей не имеет.
|