Основные числовые множества.

- множество натуральных чисел.

- целые числа.

- множество рациональных чисел.

R ….. – множество действительных чисел, эти числа выражаются десятичными дробями, или бесконечными дробями.

U – множество иррациональных чисел.

можно составить цепочку

• Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид.

путь , < , тогда а – это левый, b – это правый концы промежутка.

- называется отрезком или замкнутым интервалом.

- открытый промежуток.

- полуоткрытый интервал.

- полуоткрытый промежуток.

- полубесконечный интервал.

- полубесконечный интервал.

- полубесконечные интервалы, с одной стороны замкнуты.

- бесконечный интервал.

• Определение. Пусть точка , окрестностью этой точки называется любой интервал от (а, b) содержащий т. . Для (любого ) 0 окрестность ( ) называется - окрестностью точки , где называется центром окрестности, а - радиусом окружности.

Для любого х принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство < .

или

- < <

- + < < +

Определение функции. Способы задания.

Определение.Даны два не пустых множеств х и у, соответствие f которых каждому элементу множества сопоставляет один и только один элемент множества называется функцией и записывается

не является функцией, является функцией не является функцией, т. к.

т. к. не для каждого x одному х соответствует

существует свой у. несколько у

Множество х называется областью определения функции. Обозначается Д (f)

Множество У называется множеством значений функций, обозначается Е (f).

Если элементы множества Х и У действительно числа, то функция f называется числовой. Элемент х называется аргументом (не зависимой переменной), элемент у – функцией (зависимой от х переменной). В этом случае говорят, что х и у находятся в функциональной зависимости.

• Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости по Оху, для каждой из которых х – значение аргумента, а у – соответствующее ему значение функции.

Основные способы задания функции:

1. аналитический - функция задается в виде нескольких формул или уравнений.

2. табличный, т. е. функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих этим значениям значений функций.

3. графический- функция задается графиком функций.

• График функций можно построить с помощью преобразований графиков известных функций.

Пусть известен график функции y = f(x).

1) гр. ф.

получается из графика функции f(x) сдвигом вдоль оси у на единиц (если а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз).

2) получается из графика функций f(x) сдвигом вдоль оси х на единиц (если < 0, то вправо, если > 0, то влево).

3) график функции получается из графика функции f(x) растяжением вдоль оси у в k раз.

4) график функции получается из графика функции f(x) сжатием в m раз вдоль оси Ох.

5) график функции получается из графика функции f(x) симметричным отображением относительно оси Ох.

6) получается из графика функции f(x) симметричным отображением относительно оси Оу.

Свойства функций:

1) Четность.

Если для любого x из области определения функции имеет место: f (  x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f (  x ) =  f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функциисиметричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

2) Монотонность.

Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2> x1 следует f ( x2) > f ( x1 ), то функция f ( x )называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2> x1 следует f ( x2) < f ( x1), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

3) Ограниченность.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

4) Периодичность.

Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшеечисло называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Пример. Доказать, что sin x имеет период 2 

Решение. Мы знаем, что sin ( x+ 2 n ) = sin x, где n = 0, 1, 2, … Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не меняет его значениe. Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin ( x+ P ) = sin x, справедливо для любого значения x.

Но тогда оно имеет место и при x = / 2 , т.e. sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P.

Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2 n.

Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число и есть период sin x.

Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2 n ) = sin [ 2 ( x + n)]Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число из n есть таким образом, это период sin 2x .

5) Обратная функция.

определение обратной функции. Пусть дана функция y=f(x), x X. Она определена на множестве X, т.е. D(f)=X. Обозначим её множество значений через Y, т.е. E(f)=Y. Тогда, как мы уже отмечали, функция y=f(x) задает отображение f множества X на множество Y. Может случиться так, что это отображение обратимо. Тогда обратное отображение f -1 множества Y на множество X называют обратной функцией и пишут f -1:Y→X или x=f -1(y), yY. Равенство x=f -1(y) называется обратным правилом.

Выясним, для каких функций имеются обратные. Сравним две функции, графики которых изображены на рис.3. Обе они задают отображение отрезка [a;b] на отрезок [c;d]. Функция y=f(x) обладает следующим свойством прообраз любого элемента y0[c;d] состоит только из одной точки. А y=f(x) подобным свойством не обладает: так как прообраз точки y0 есть трехэлементное множество {x1;x2;x3}. Это значит, что функция y=f(x) имеет обратную, а функция y=g(x) обратной не имеет.

Монотонная и немонотонная ф-и

Теорема.Если функция y=f(x), х X монотонна на промежутке X и E(f)=Y, то для неё существует обратная x=f -1(y), y Y, причем обратная функция монотонна на Y.

График y=f -1(x) получается из графика y=f(x) с помощью преобразования плоскости xOy, переводящего точку (x;y) в точку (y;x). Этим преобразованием является симметрия относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов). Значит, чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график y=f(x) симметрично отобразить по прямой y=x.

6) Сложная функция.

Это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом.

Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sinx, то у = , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,...

7) Неявная функция.

Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида:

F(x,y) = 0, (*)

т.е. задана функция F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (*).

Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить (*) относительно y. Так как для данного значения аргумента х уравнение (*) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Например, функция у (у>0), определяемая уравнением , является неявной. Явно заданная функция будет иметь вид: .

8) Параметрическая функция.

В этом случае обе координаты (х и у) являются равноправными, т. е. вычисляются как функции некоего вспомогательного параметра, обозначаемого, как правило, символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:

q(t) = {x(t), y(t)},

где х(t) и y(f) — функции параметра t.

Задавая одинаковые значения t, функция x(f) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) — значения координаты у.

Можно легко представить, что значения параметра t— это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается частица в различные моменты (значения) времени f. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.

Важным качеством параметрических кривых является то, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.

Пример

Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции

x(f) = cost;

y(t) = sinf

создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.

9) Гиперболические функции.

;

;

.
Областью определения функций shx , chx , thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические:

ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)

sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)

ch2x–sh2x=1 , (3)

ch2x=ch2x+sh2x , (4)

sh2x=2shx · chx . (5)

Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком.

Элементарные функции и их графики

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x , где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tg = k . Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,   где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C :
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,   где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола. У этой кривой две ветви. Произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.     Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; - функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? ); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат. Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.     График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:   Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения .Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рисунке.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции:  < x+ ( т.e. x R ), а область

значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .

5.	Степенная функция. Это функция: y = axn, где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n =-1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рисунках ( для n 0 и n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:     Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. Покажем две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. Функция (смю рисунок) является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак перед квадратным корнем ).
6.	Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y =-3, y = 3 i и y =- 3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рисунке. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции:  < x<+ ( т.e. x R ); область значений: y > 0 ; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0, а область значений:  < y<+ ( т.e. y R ); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком. Эта кривая называется синусоидой.   График функции y = cos x также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2 Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения:  < x <+ , - область значений: 1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные ( | y | 1) , всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции; - функции имеют бесчисленное множество нулей.   Графики функций y = tg x и y = ctg x показаны ниже   Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период , неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности , разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Графики этих функций получаются поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x и y = Arccos x многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y <+ . В качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рисунках жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1 ;

их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctg x и y = Arcctg x - многозначные, неограниченные функции; их область определения:  x + . Их главные значения y = arctg x и y = arcctg x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рисунках жирными ветвями.

Функции y = arctg x и y = arcctg x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения:  x + ;

их области значений:  /2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctg x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arcctg x нулей не имеет.