Основные выводы, замечания

Ø Числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.

Ø Функции могут обладать свойством монотонности, т.е. возрастать или убывать на некотором промежутке.

Ø Свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности можно использовать при обуче­нии младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Понятие функции является фундаментальным математическим понятием. В процессе эволюции математики оно определенным образом изменилось. Раскройте основные этапы возникновения определения функции в историческом аспекте. Приведите примеры пропедевтических учений Н. Орема (1323-1382), Г.В. Лейбница (1646-1716), И. Бернулли (1718г.), Л.Эйлера (1707-1783) о функции. Дайте определение функции М.И. Лобачевским (19 в.) и определения функции в современных учебниках алгебры и математики.

2. Каждому целому неотрицательному числу поставлен в соответствие его остаток от деления на 5. Изобразите схематично это соответствие, взяв в качестве множества X первые 20 натуральных чисел. Будет ли это соответствие функцией? Каким числам соответствует нуль?

3. Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значения функции f (41); f (56); f (83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2 ?

4. Представьте различными способами число 5 как сумму двух натуральных чисел. Запишите аналитически связь между слагаемыми. Сколькими способами можно представить 5 как сумму двух натуральных чисел?

5. Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию: а) у = 4х; б) у = ; в) х² + у² = 4?

6. Связь между переменными х и у задана формулой х² + у² = 25. Задайте эту связь словесно и геометрически. Выразите каждую из переменных через другую. Являются ли эти зависимости функциями? Если нет, то измените соответствующие формулы так, чтобы они задавали функции.

7. Постройте график функции у = 5 - х, если ее область определе­ния такова: а) Х = {0,1, 2, 3,4, 5}; б) Х = [0;5]; в) Х = R.

8. Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел: а) у = х; б) у = 3; в) х = 5; г) у = 0.

9. Функция f задана при помощи таблицы:

а) Укажите ее область определения и область значений.

б) Задайте функцию f при помощи формулы.

в) Постройте график функции f на координатной плоскости.

г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.

10. Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции: а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В?

11. Сравните функции, о которых идет речь в предыдущем упражнении. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?

12. У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней? Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие - функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.

13. Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»

14. Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х = {1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»

15. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?

16. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. пред. упр.), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?

17. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями.

18. Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см²) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х £ 6. Докажите, что это соответствие - функция.

19. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см². Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных х и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 £ х £ 12.

20. Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго - 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.

Творческие задания

1. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х. Является ли данное уравнение моделью этой задачи?

2. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 60х.

3. Найдите учебника математики для начальной школы текстовые задачи на зависимость вида у = кх.

4. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 4х + 2.

5. Составьте текстовую задачу, которую можно было бы решить в начальном курсе математики, на зависимость вида: у = 15х + 20.

6. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/6.

7. Составьте текстовую задачу на зависимость вида у = х/4.

8. Приведите примеры текстовых задач начального курса математики, между величинами которых прямая пропорциональная зависимость.