Теорема. Любой вектор можно единственным образом представить в виде , где .

Ортогональная проекция вектора на подпространство евклидова пространства. Расстояние и угол между вектором и подпространством.

Пусть L – линейное подпространство в евклидовом пространстве E (конечной размерности n). Обозначим через множество всех векторов w из E, ортогональных L, т.е. . (Обычно называют ортогональным дополнением к L.)

Лемма.(а) – линейное подпространство в E;

(б) (нулевому вектору).

Доказательство. (а) Если , то . Пусть также .

(б) Если вектор принадлежит одновременно и , то . Из определения скалярного произведения следует, что , что и утверждалось.

Теорема. Любой вектор можно единственным образом представить в виде , где .

Определение 1. Вектор y называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а вектор z называется ортогональной составляющей вектора x относительно подпространства L.

Определение 2. Углом между вектором x и подпространством L называется угол между векторами x и y.

Определение 3. Расстоянием от вектора x до подпространства L называется длина его ортогональной составляющей z (фактически это расстояние до L от конца вектора x, если E рассматривать как точечно-векторное пространство).

Доказательство теоремы. Существование разложения. Выберем в L некоторый базис и дополним его до базиса в E векторами . Затем построим из него ортогональный базис при помощи алгоритма ортогонализации, при этом . Теперь вектор x разложится по этому базису: . Примем , тогда – требуемое разложение.

Единственность разложения. Допустим, что x имеет два разложения, удовлетворяющих требованиям теоремы: . Из равенства , согласно лемме 1(а). Отсюда, по пункту (б) леммы, , что и требовалось доказать.

Следствие. Верна «теорема Пифагора»: если , , то .

Действительно, , так как .

Определения 2 и 3 оправданы тем, что справедливо

Утверждение.Для данноговектора , среди векторов , наименьшую длину имеет – ортогональная составляющая вектора x относительно L.

Доказательство. Запишем (см.чертеж)

По следствию, , причем минимальное значение достигается, если , ч.т.д.

Замечание. На практике не обязательно строить ортогональный базис. Покажу это на примере.

Пример. В евклидовом пространстве R⁴ (со стандартным скалярным произведением) дано подпространство . Разложить вектор на сумму ортогональной проекции на L и ортогональной составляющей. Найти расстояние от вектора x до L и угол между x и L.

Решение. Разложение x будем искать в виде . Умножим желаемое равенство скалярно сначала на , потом на : , . Для нахождения получим систему уравнений . В нашей задаче

, так что , , , . Значит, , . Итак, .

Если подпространство задано не как линейная оболочка, а системой однородных линейных уравнений, надо сначала найти в нем базис, а затем решать, как выше.