Способы задания множеств.

Практические занятия по ОДМиТА

Тема 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ, ФУНКЦИИ

Способы задания множеств.

Теория:

Существуют следующие способы задания множеств:

а) перечислением, т.е. списком своих элементов. Обозначение списка – в фигурных скобках.

A={a,b,c,d}

б) порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества;

в) описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы. Обозначается

M={x|P(x)} или M={x:p(x)}.

Задача 1. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3,…

Решение:

а) Перечислением (списком) множество N задать нельзя, ввиду его бесконечности.

б) Порождающая процедура содержит два правила:

А) и В) если то .

в) Описание характеристического свойства элементов:

N={x:x – целое положительное число}

Задача 2. Задать различными способами множество M всех четных чисел 2, 4, 6,…, не превышающих 100.

Решение:

а)

б) А) ; Б) если , то : В) .

в) , или

.

Теория:

Мощность множества M – это число его элементов (для конечных множеств). Обозначается: |M|.

Булеан – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества M и обозначается :

.

Задача 3. Пусть . Определить в явном виде (перечислением своих элементов) булеан – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества . Какова мощность множества ?

Решение:

. Мощность .

2. Операции над множествами.

Теория:

Диаграммы Венна – графическое представление множеств. Построение диаграммы заключается в построении большого прямоугольника, представляющего универсальное множествоU, а внутри его – кругов, представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами.

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A,B. (рис. 1):

AÈB={x: xÎA или xÎB}

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и A и B (рис. 2.)

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Дополнением (до U) множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U) (рис. 4):

.

Рис.1. Рис.2. Рис. 3. Рис.4.

Задача 4. Пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников фирмы; А – множество всех сотрудников данной фирмы старше 35 лет; В – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

а) , б) , в) , г) , д) ?

Решение:

а) – множество сотрудников фирмы, стаж работы которых не превышает 10 лет.

б) – множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.

в) – множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не являющихся менеджерами, стаж работы которых более 10 лет.

г) – Множество сотрудников фирмы со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.

д) – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.

Задача 5. Пусть U={1,2,3,4}, A={1,3,4}, B={2,3}, C={1,4}. Найти:

а) , б) , в) , г) .

Решение:

а)

б)

в)

г)

Задача 6. Проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна справедливость соотношения:

(свойство дистрибутивности слева операции пересечения относительно объединения ).

Решение:

Построим диаграммы Венна.

а) для левой части равенства:

Рис.6.1.

б) для правой части равенства:

Рис. 6.2.

Задача 7. В группе занимается 40 человек, из них 20 человек изучают французский язык, 20 человек – английский язык, 14 человек – немецкий язык; английский и французский языки – 9 человек; немецкий и английский языки – 7 человек; немецкий и французский – 5 человек, все три языка – 2 человека. Сколько человек не изучают ни одного языка.

Решение:

Решение задачи осуществим с помощью диаграммы Венна (рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Введем обозначения:

А – множество человек, изучающих английский язык;

В – множество человек, изучающих французский язык;

С – множество человек, изучающих немецкий язык.

Тогда, мощности А, В и С будут равны:

M(А) = 20, M(В) = 20, M(С) = 14.

Из условия задачи известно, что все три языка изучают 2 человека. Следовательно,

.

Определим число человек, изучающих только два языка:

Таким образом, только французский и немецкий языки изучают 3 человека, только английский и немецкий языки – 5 человек, только английский и французский языки – 7 человек. Число человек, изучающих только по одному языку:

Откуда получаем, что 6 человек изучают только английский язык, 8 человек – только французский язык, 4 человека – только немецкий язык.

Тогда, число студентов, не изучающих ни одного языка: