КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательностьСтр 1 из 2Следующая ⇒ x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элементпоследовательности является функцией от n. xn = f(n) Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; … {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … 2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}. 3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}. 4) Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что
xn £ M.
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что
xn ³ M
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim xn = a. В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.
Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример. Доказать, что предел последовательности lim .
Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2 Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Теорема. Если xn ® a, то .
Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Монотонные последовательности.
Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая. 2) Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая. 3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая. 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная {xn} = n – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности {xn+1}= Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= , т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n. Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {xn} = .
Найдем . Найдем разность , т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Число е.
Рассмотрим последовательность {xn} = . Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона: или, что то же самое Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn: Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая. Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3. Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е. Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем: переходя к пределу, получаем Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828… Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа: Предположим: Найдем Число е является основанием натурального логарифма.
Предел функции в точке.
y f(x)
A + e A A - e
0 a - D a a + D x
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D(e) >0, что для всех х таких, что
0 < ïx - aï < D верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде: Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке:
Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
у f(x)
А2
А1
0 a x
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число D(e) >0, что для всех х, ïхï>D(e) выполняется неравенство При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают:
Графически можно представить: y y
A A
0 0 x x
y y
A A
0 0 x x
Аналогично можно определить пределы для любого х>D(e) и для любого х< -D(e) .
Основные теоремы о пределах. Теорема 1. , где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
Теорема 2.
Теорема 3. Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0. Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .
Определение. Функция f(x) называется ограниченнойвблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.
Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а. 4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
|