Дифференцирование сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

Задача 4. Найти производные следующих функций:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

Решение. а) Функцию представим как композицию функций и . Используя таблицу производных, находим: , .

Тогда

.

б) Функцию представим как композицию функций ,

и .Найдем производные по промежуточным аргументам: , и .

Производную сложной функции находим по формуле . Окончательно получим = .

Аналогично решается задача в:

=

= = .

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

,

находим производную:

.

д) Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию

.

Находя производные от левой и правой частей этого тождества, получим

Вычисляя производную от правой части тождества и решая уравнение относительно , получим

.

Производные высших порядков

Производная от функции также определяется функцией от и может быть дифференцируема.

Производная от производной функции называется производной второго порядка от функции и обозначается:

.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Задача 5.Найти и для функции ;

Решение. Найдем сначала :

= = .

Затем находим вторую производную:

=

.