Обратная геодезическая задача на плоскости

Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезическая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):

(2.8)

Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).

Рис.2.5

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ΔX = X2 - X1, ΔY = Y2 - Y1 ), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Δ X 00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

(2.9)

(2.10)

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:

(2.11)

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:

определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а),

вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

(2.12)

Если ΔX = 0.0 , то

S = іΔYі;
и α = 90o 00' 00" при ΔY > 0 ,
α = 270o 00' 00" при ΔY < 0 .

Если ΔY = 0.0 , то

S = іΔXі
и α = 0o 00' 00" при ΔX > 0 ,
α = 180o 00' 00" при ΔX < 0 .

Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:

(2.13)

если ΔY => 0o , то α = a ,
если ΔY < 0o , то α = 360o - a.