![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Понятие многочлена. Операции над многочленами.Основные понятия. Понятие многочлена. Операции над многочленами. 1.1.1. Определение. Рациональной дробью (или дробно-рациональнойфункцией) называется функция, равная отношению двух многочленов: ¦(x)= Рациональная дробь 1.1.2. Теорема. Всякую неправильную дробь
1.1.2. Правило: Для того, чтобы представить неправильную дробь 1.1.3. Упражнение. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби дробь: a) б) в) Решение. a) Разделим с остатком числитель 3x4-2x3+x2-x-1 на знаменатель x2-3: 3x4-2x3+x2-x-1=(x2-3)(3x2-2х+10)+(-7х+29) (см. 1.2.2 предыдущего параграфа). Поэтому Ответ: а) 1.1.4. Определение. Правильные рациональные дроби вида 1.1.5. Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей:
+ + где А1, А2, …, B1, B2, …, C1, C2, …, D1, D2, …, M1, M2, …, N1, N2, …, - некоторые действительные числа. Например
+ Здесь действительные коэффициенты A, B, C, D, E, F, G, H требуют вычислений. Для нахождения неопределённых коэффициентов А1, А2, …, B1, B2, …, C1, C2, …, D1, D2, …, M1, M2, …, N1, N2, …, в равенстве (1.1.1) можно применить, например, метод неопределённых коэффициентов, который заключается в следующем: 1. Правую часть равенства (1.1.1) приведём к общему знаменателю Qn(x); в результате получим тождество 2. Так как в полученном равенстве (тождестве) знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители, то есть равны многочлены, стоящие в числителях дробей равенства: Pm(x)=S(x). 3. Так как многочлены равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты (см. 1.1.4), то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства Pm(x)=S(x), получим систему линейных уравнений, из которой определяются искомые коэффициенты А1, А2, …, B1, B2, …, C1, C2, …, D1, D2, …, M1, M2, …, N1, N2, …,. 1.1.6. Упражнение. Представить дробь в виде суммы простейших: a) в) Решение. а) Имеем
= = Так как в полученном равенстве (тождестве) знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители, то есть равны многочлены, стоящие в числителях дробей равенства: х-1=(A+C)x2+(3A+B+4C)x+(2A+B+4C). Так как многочлены равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты, то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного равенства, получим систему линейных уравнений: решая которую, например, методом Гаусса, определяем искомые коэффициенты А, В, С:
Û Таким образом, Ответ: 1.1.7. Теорема. Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена (возможно, нулевого) и простейших дробей. 1.1.8. Упражнение. Представить дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей. a) б) в) Решение. a) Представим сначала дробь в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби: (см. решение упражнения 1.1.3 а))
=
Окончательно имеем
Ответ: а) +
|