Применение тройных интегралов

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией занимающего область :

Если тело однородно, т. е. , то формулы упрощаются:

где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара :

Две координаты центра тяжести равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен то

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны то полагая для простоты получим следующие формулы :

Аналогично плоскому случаю интегралы

- называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид:

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

где М -масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что

получим

Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается околооси Оz с постоянной угловой скоростью . Найдем кинетическую энергию тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной , где т -масса точки, а - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления кинетической энергии интеграл.

Возьмем какую-нибудь окрестность точки Р(х, у, z) тела . Величина линейной скорости точки Р при вращении около оси Оz равна и значит, кинетическая энергия части тела выразится так :

где - плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела получаем

т.е.

Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.