Краткие сведения из теории теплопередачи

Основные понятия. Теория теплообмена - наука о процессах переноса теплоты в пространстве и во времени. Перенос теплоты осуществляется тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.

Теплопроводность представляет собой молекулярный перенос теплоты в телах, обусловленный неоднородностью температурного поля.

Под конвекцией понимают процессы переноса теплоты при перемещении объемов жидкости или газа в пространстве. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью и этот совместный процесс называют конвективным теплообменом. Конвективный теплообмен между поверхностью твердого тела и жидкостью или газом называется теплоотдачей.

Процессы теплопроводности и конвективного теплообмена могут сопровождаться излучением. Тепловое излучение - процесс переноса теплоты с помощью электромагнитных волн.

В инженерной практике часто имеют место процессы теплообмена между жидкостями, разделенными твердой стенкой. Такой процесс переноса теплоты называют теплопередачей.

В теории теплообмена в большинстве случаев жидкости или газы рассматриваются как сплошные среды. Сплошные среды могут быть как однофазными, так и многофазными. В однофазных сплошных средах физические свойства изменяются в пространстве непрерывно. В многофазных средах на границах раздела фаз физические свойства изменяются скачкообразно, а поэтому теплообмен в однофазных и многофазных средах протекает по-разному.

Рабочий процесс в различных теплообменных устройствах, как правило, основан на конвективном теплообмене между твердой поверхностью тела и омывающей его жидкостью, а его интенсивность определяется как гидродинамическими условиями обтекания, так и теплофизическими свойствами жидкости.

Для расчета стационарного теплового потока обычно используют формулу Ньютона, согласно которой плотность теплового потока q (Вт/м²) пропорциональна температурному напору

q=a×(Т_ж - Т_ст), (1.1)

где a - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²×К);

Т_ж - температура жидкости, К;

Т_ст - температура поверхности теплообмена, К.

Коэффициент теплоотдачи имеет следующий порядок для различных условий конвективного теплообмена, Вт/(м²×К):

Современные методы расчета конвективного теплообмена основываются на теории пограничного слоя. Несмотря на свою незначительную по сравнению с характерными размерами тела толщину, пограничный слой играет основную роль в процессах динамического и теплового взаимодействия потока жидкости с поверхностью теплообмена. В непосредственной близости стенки существует вязкий подслой, где теплота передается только теплопроводностью.

Тогда в соответствии с гипотезой Фурье

, (1.2)

где l_ж- теплопроводность жидкости, Вт/(м×К);

n - координата, отсчитываемая по нормали к изотермической поверхности, м.

Если принять в первом приближении

, (1.3)

где d_т - толщина теплового пограничного слоя (м).

Из уравнений (1.1) и (1.2) следует

(1.4)

Таким образом, чтобы интенсифицировать теплоотдачу, необходимо использовать жидкости с высокой теплопроводностью и принять меры к уменьшению толщины пограничного слоя.

Различают естественную и вынужденную конвекцию. Естественная конвекция возникает за счет того, что в неравномерно нагретой жидкости разность температур приводит к неравномерному распределению плотности, а следовательно, и к появлению подъемной силы, обусловливающей движение жидкости. Конвективный теплообмен, возникающий под действием внешних сил, называется вынужденной конвекцией.

При малых скоростях движения жидкости и больших перепадах температур теплота переносится как за счет естественной, так и вынужденной конвекции. Если скорости движения велики, а температурные перепады незначительны, то влияние свободной конвекции на суммарный теплообмен также незначительно. Интенсивность теплоотдачи конвекцией зависит от характера течения жидкости в пограничном слое. При ламинарном режиме течения жидкости, когда линии тока параллельны теплоотдающей поверхности, интенсивность теплоотдачи невелика, слабо зависит от скорости течения жидкости и сильно изменяется при изменении теплофизических свойств теплоносителя.

При турбулентном режиме течения скорость в каждой точке потока пульсирует около некоторого среднего по времени значения. Вследствие этого возникает интенсивное поперечное перемешивание жидкости, что и вызывает интенсивный обмен количеством движения и теплотой между слоями с различной скоростью.

При вынужденном течении жидкости в трубах только на достаточном удалении от входа в зависимости от режима течения жидкости устанавливается вполне определенное распределение скорости и температуры (стабилизированное течение), не зависящее от начальных условий. В этой области теплоотдача зависит от скорости, диаметра трубы и физических свойств жидкости. На начальном участке, где имеет место нестабилизированное течение, процесс теплоотдачи отличается большой сложностью и коэффициент теплоотдачи резко изменяется по длине.

Распределение температуры и скорости для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами описывается системой дифференциальных уравнений, которые в приближении стационарного двумерного пограничного слоя имеют такой вид:

уравнение энергии

; (1.5)

уравнение движения

; (1.6)

уравнение сплошности

(1.7)

где r - плотность жидкости, кг/м³;

С_р - удельная теплоемкость при постоян­ном давлении, Дж/(кг×К);

l - теплопроводность, Вт/(м×К);

g - ускорение свободного падения, м/с²;

m - динамическая вязкость, Па×с;

х - ортогональная продольная координата, м;

у - ортогональная поперечная координата, м;

w_х - продольная составляющие скорости, м/с;

w_х - поперечная составляющие скорости, м/с;

Т - термодинамическая температура, К;

∆Т= Т_ст - Т_ж - температурный напор, К.

Система уравнений (1.5) - (1.7) описывает бесконечное множество процессов конвективного теплообмена. Частные особенности процессов теплообмена характеризуются условиями однозначности, которые содержат геометрические, физические, временные и граничные условия.

Геометрические условия характеризуют форму и конкретные геометрические размеры системы, в которой протекает процесс теплообмена.

Физические условия задают числовыми значениями физических параметров среды: r, m, l, С_р.

Временные условия задают в виде начального распределения температур и скоростей (для стационарных задач эти условия отсутствуют).

Граничные условия характеризуют условия на поверхности теплообмена и на границах потока. На поверхности теплообмена продольная составляющая скорости w_х принимается равной нулю, а поперечная составляющая w_у при наличии вдува отлична от нуля и является заданной величиной.

Тепловые граничные условия обычно задаются в виде распределения температур или тепловых потоков (граничные условия первого и второго родов).

Граничные условия третьего рода связывают температуру поверхности теплообмена Т_ст с температурой окружающей среды с помощью уравнения теплового баланса

(1.8)

Коэффициент теплоотдачи a, как следует из анализа системы дифференциальных уравнений и условий однозначности, является сложной функцией, зависящей от большого числа факторов. Так, например, в случае внутренней задачи (течение жидкости в трубе)

a=f(r, m, l, С_р, w_ср, Т_ж, Т_ст, d, L, х), (1.9)

где х - расстояние от входа в трубу, м;

w_ср - среднемассовая скорость течения жидкости, м/с;

d - диаметр трубы, м;

L - длина трубы, м.

Обобщение результатов эксперимента и моделирование. Математическое описание процесса теплообмена в общем случае складывается из системы дифференциальных уравнений (1.5)...(1.7) и условий однозначности (геометрических, физических, начальных, граничных). При аналитическом решении задачи искомая величина (коэффициент теплоотдачи - a, температура Т и т. п.) выражается в функции аргументов - независимых переменных (время t, координаты - х, у, z) и параметров системы (r, m, l, n). Аналитическое решение является наиболее желательным для инженерной практики, так как позволяет оценить влияние различных параметров на рассматриваемый процесс и найти оптимальные значения этих параметров при реализации процесса в конструкции того или иного аппарата.

Однако во многих случаях математическое описание процессов теплообмена оказывается столь сложным, что решить задачу аналитически не представляется возможным. В таком случае задача может быть решена либо численным методом, либо экспериментально.

Отличаясь по способу получения искомых величин, оба этих метода равноценны по возможностям при определении зависимости искомой величины от аргументов. Оба метода позволяют найти решение для одного конкретного случая при фиксированных значениях аргументов. При изменении хотя бы одного параметра задачу необходимо решить заново. При большом числе аргументов не только чрезвычайно большим оказывается объем вычислений или экспериментов, но и очень трудным становится, а иногда и невозможным, подобрать эмпирическую зависимость, правильно отражающую влияние всех аргументов, т. е. обобщить результаты численных решений или экспериментов.

Эти трудности преодолеваются с помощью так называемых обобщенных переменных - критериев подобия, представляющих собой безразмерные комплексы физических величин, которые отражают совместное влияние совокупности физических величин на явление.

Использование обобщенных переменных позволяет:

1 сократить число аргументов задачи и тем самым уменьшить количество необходимых экспериментов и упростить обработку результатов этих экспериментов (или численных решений);

2 обобщить данные эксперимента (даже единичного), т.е. распространить их на многие подобные между собой случаи;

3 моделировать процессы, протекающие в натурных установках.

Структура безразмерных комплексов - критериев - может быть найдена либо на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление и содержащих общие связи между величинами (метод теории подобия), либо на основе анализа размерностей физических величин, существенных для явления (метод анализа размерностей).

По физическому смыслу критерии подобия выражают соотношения между физическими эффектами (силами, тепловыми потоками), существенными для явления. Комбинация из критериев также является критерием и при необходимости может заменить любой из критериев, входящих в нее. Использование того или иного критерия из совокупности эквивалентных определяется практическими соображениями и в первую очередь отсутствием в нем величин, не заданных по условиям однозначности.

Критерии подобия носят имена ученых, которые внесли значительный вклад в развитие соответствующей области науки, и обозначаются двумя первыми латинскими буквами имени ученого.

Критерии подобия, состоящие из физических величин, заданных условиями однозначности, называются определяющими, критерии, содержащие неизвестные величины, - неопределяющими (или определяемыми). Зависимости между критериями подобия называются критериальными уравнениями и, как следует из вышесказанного, находятся с помощью экспериментов или численных решений.

Основные критерии подобия. Ниже приведены важнейшие критерии подобия теории теплообмена с объяснением их физического смысла.

Критерий Нуссельта

(1.10)

характеризует отношение между потоком теплоты от жидкости к поверхности тела (теплоотдачей) и потоком теплоты теплопроводностью в жидкости у стенки. Критерий Нуссельта - неопределяющий критерий, так как содержит искомый коэффициент теплоотдачи.

Критерий Рейнольдса

(1.11)

характеризует отношение между инерционной силой и силой внутреннего трения в жидкости (вязкости). Чем меньше значение критерия, тем больше влияние молекулярных сил вязкости и тем устойчивее вязкое, ламинарное течение жидкости. При некотором критическом значении критерия Rе ламинарное течение жидкости переходит в турбулентное. Интенсивность конвективного теплообмена существенным образом зависит от режима течения жидкости, поэтому критерий Rе является одним из основных определяющих критериев в теории теплообмена.

Критерий Пекле

(1.12)

характеризует отношение между потоком теплоты, переносимым движущейся жидкостью (конвективным), и потоком теплоты теплопроводностью при одинаковом температурном напоре.

Критерий Прандтля

(1.13)

характеризует совокупное соотношение между силами инерции и вязкости и потоками теплоты конвективным и кондуктивным. Критерий Прандтля содержит только физические параметры среды и поэтому сам является параметром среды. Для газов критерий Рr определяется только атомностью и его значение близко к единице (для одноатомных Рr = 0,67; для двухатомных Рr = 1,0). Для капельных жидкостей значение критерия Рr больше единицы. Исключение составляют жидкие металлы, которые характеризуются чрезвычайно малыми значениями критерия Рr.

Критерий Эйлера

(1.14)

характеризует соотношение между силой давления и инерционной силой. Критерий Эйлера - неопределяющий критерий, так как содержит обычно искомый перепад давлений (сопротивление).

При решении задач нестационарной теплопроводности важное значение имеют критерии Фурье и Био.

Критерий Фурье

(1.15)

характеризует безразмерное время и необходим при решении нестационарных задач.

Критерий Био

(1.16)

характеризует отношение между термическим сопротивлением тела и термическим сопротивлением теплоотдачи . Написание критерия Био похоже на форму записи критерия Нуссельта. Однако между ними имеется существенное различие. В критерии Био l - теплопроводность твердого тела, в то время как в критерии Нуссельта l - теплопроводность жидкости, омывающей тело. Принципиальное различие критериев Вi и Nu заключается в том, что в первом из них коэффициент теплоотдачи рассматривается как величина, заданная при решении задачи (граничные условия 3-го рода), а во втором - коэффициент теплоотдачи является величиной искомой. Таким образом, критерий Вi является определяющим, а критерий Nu - неопределяющим.

Критерий Фруда

(1.17)

характеризует отношение между силой тяжести и инерционной силой. Этот критерий имеет существенное значение в тех случаях, когда гравитационные эффекты играют заметную роль.

Критерий Галилея

(1.18)

характеризует отношение массовых сил к силам вязкости. Применяется при анализе свободного движения жидкости.

Критерий Архимеда

(1.19)

представляет собой комбинацию из критерия Галилея и параметрического критерия , характеризующего неоднородное поле плотности.

Если разность плотностей жидкости определяется разностью температур ∆Т, то симплекс можно представить через коэффициент объемного расширения , полагая его постоянным, в виде критерия Грасгофа.

Критерий Грасгофа

(1.20)

характеризует соотношение между подъемной силой в жидкости, возникающей вследствие разности плотностей, и силой вязкости.

Критерий Релея

(1.21)

часто используется при свободной конвекции.

Критерии Rе, Fr, Ga, Аr, Eu, вытекающие из дифференциального уравнения движения, часто называют критериями гидродинамического подобия. Критерии Nu, Ре, Fо, Gr, St относят к критериям теплового подобия.

Анализируя исходные дифференциальные уравнения (1.5)...(1.7) и условия однозначности методами теории подобия, можно получить общий вид функциональной связи между критериями подобия для различных случаев конвективного теплообмена.

Так, в случае свободной конвекции в большом объеме, когда движение жидкости обусловлено неоднородностями плотности, возникающими за счет разности температур, критерий Nu однозначно определяется значением критерия Релея

(1.22)

При этом критериальное уравнение (1.22) принято представлять в виде

, (1.23)

где значения постоянной С и показателя степени n зависят от диапазона изменения аргумента, т. е. критерия Rа.

В случае вынужденной конвекции при течении жидкости в трубах и каналах анализ проблемы методами теории подобия приводит в общем случае к функциональной связи:

, (1.24)

где - отношение длины трубы к ее диаметру - учитывает изменение теплоотдачи по длине трубы, связанное с гидродинамической и тепловой стабилизацией потока на начальном участке.

При ламинарном режиме течения в общем случае на теплоотдачу при вынужденном движении оказывает влияние свободная конвекция, что и учитывается в (1.24) введением в число независимых аргументов критерия Gr. Однако влияние свободной конвекции на теплоотдачу ощущается лишь в том случае, когда имеет место так называемый вязкостно-гравитационный режим течения теплоносителя (Gr∙Рг ≥ 8∙10⁵).

В остальных случаях влиянием свободной конвекции на теплоотдачу при вынужденном течении пренебрегают и функциональная зависимость (1.24) принимает вид

. (1.25)

При развитом турбулентном режиме течения (Re_d ≥ 10⁴) общий вид функциональной зависимости (1.25) остается прежним. Так же, как и в случае свободной конвекции, экспериментальные данные по теплоотдаче при вынужденной конвекции обычно обобщают в виде степенной зависимости

, (1.26)

где e_L - поправка, учитывающая влияние начального участка на теплоотдачу.

При внешнем обтекании общий вид критериальной зависимости при ла­минарном и турбулентном режимах течения квазиизотермической несжимаемой жидкости в пограничном слое имеет вид

, (1.27)

где Re_x - критерий Рейнольдса, построенный по расстоянию х, отсчитываемому от передней критической точки тела.

В условиях внешней задачи часто в качестве неопределяющего критерия используют критерий Стантона, в который не входит характерный размер теплоотдающей поверхности.

Следует заметить, что поскольку критериальные уравнения получаются на основе эксперимента, необходимо в каждом случае учитывать:

1 диапазон применимости полученного уравнения, характеризуемый значениями определяющих критериев подобия;

2 какая температура принимается в качестве определяющей, по которой находятся физические параметры, входящие в критерии подобия;

3 какой размер системы принимается в качестве определяющего при подсчете соответствующих критериев подобия.

Нередко определяющая температура (или размер) указываются в форме подстрочного индекса у критерия в критериальном уравнении.

Основы моделирования физических явлений. Существование подобия физических явлений значительно упрощает и облегчает экспериментальные исследования, давая возможность заменить изучение процесса, протекающего в образце, изучением его на модели, имеющей другие размеры и работающей при других условиях (температуре, давлении, скорости и т. п.), более удобных для эксперимента. Условия моделирования, т. е. условия, которым должна удовлетворять модель и процесс, протекающий в ней, даются теорией подобия. В соответствии с теорией подобия для того, чтобы результаты исследования на модели могли быть перенесены на образец, процесс в модели должен быть подобен процессу в образце. А для этого необходимо осуществить три условия подобия.

Первое условие подобия требует, чтобы процесс в модели был той же физической природы, что и процесс в образце (описывался одной и той же системой дифференциальных уравнений).

Второе условие подобия требует, чтобы условия однозначности в модели были подобны условиям однозначности образца. Отсюда следует, что модель должна быть геометрически подобна образцу (подобие геометрических условий однозначности): L_мод=С_L∙L_обр. Константа геометрического подобия С указывает, во сколько раз модель уменьшена по сравнению с образцом. Однородные физические величины в модели и образце также должны быть подобны, а значит, и связаны соответствующими константами подобия (подобие физических условий однозначности): µ_мод = С_µ∙µ_обр; r_мод = С_r∙r_обр и т. п. Распределения скоростей и температур на входе в систему, а также в начальный момент времени должны быть также подобными. Для этого скорости и температуры в сходственных точках модели и образца должны быть связаны соответствующими константами подобия (подобие граничных и начальных условий однозначности): w_мод = С_w∙w_обр и т. п.

Однако константы подобия физических величин не могут выбираться произвольно, так как они между собой связаны. Взаимосвязь констант подобия определяется третьим условием подобия, которое требует, чтобы критерии подобия для модели были численно равны соответствующим критериям для образца. Например, из равенства критериев Рейнольдса в модели и образце (Rе_мод = Rе_обр) следует, что константы подобия для скорости среды на входе в систему С_w, размера С_L и кинематической вязкости среды Сn связаны между собой следующим выражением

. (1.28)

Это значит, что если в модели будет использована та же жидкость, что и в образце (С_n=1), то при изготовлении модели в масштабе 1:5 (С_L=1/5) скорость жидкости в ней надо будет увеличить в 5 раз (С_w=5).

Следует заметить, что необходимость удовлетворения (одновременного) различных соотношений между масштабами преобразования физических величин, вытекающая из равенства различных критериев, накладывает серьезные ограничения на возможность точного моделирования. В связи с этим возникает потребность в методах приближенного моделирования.

Критерий характеризует отношение двух эффектов, существенных для процесса. Его влияние на процесс проявляется существенно, когда оба эффекта соизмеримы по величине. Если же один из эффектов становится пренебрежимо малым по сравнению с другим, критерий становится либо очень малым, либо очень большим. Происходит так называемое вырождение критерия и выпадение его из числа определяющих. Моделирование в предположении о вырождении того или иного критерия является приближенным.

Ошибку при осуществлении приближенного моделирования можно оценить следующим образом. Две одноименные физические величины подобных процессов в образце и модели, рассматриваемые в сходственных точках, связаны соотношением

(1.29)

Положим, что точное подобие процессов не выполняется, тогда

. (1.30)

Меру неподобия можно представить в виде

. (1.31)

Величина Dj_обр определяет ту ошибку, которая была бы сделана, если бы определили j'_обр в предположении точного подобия из соотношения

(1.32)

Для различных физических величин эта ошибка может быть различной.

Часто используется приближенный метод локального моделирования. Особенность его состоит в том, что подобие процессов осуществляется лишь в том месте, где проводится исследование теплообмена. Например, исследуя теплоотдачу при омывании жидкостью пучка труб, детально исследуют теплообмен только на одной из труб. Остальные трубы служат лишь для придания модели геометрически подобной формы. Полученный результат распространяется затем на весь пучок труб.

Моделирование существенно упрощается при наличии так называемой автомодельности процесса относительно какого-либо определяющего критерия. Неопределяющий критерий автомоделей по отношению к определяющему критерию, когда данный неопределяющий критерий не зависит от рассматриваемого определяющего. Если процесс автомоделей относительно какого-либо определяющего критерия, то при моделировании отпадает необходимость соблюдения равенства этого критерия для модели и образца.

Иногда при исследовании явления на модели используется физическая аналогия явлений. О физической аналогии явлений говорят тогда, когда сравниваемые явления имеют разную физическую природу (теплопроводность, электропроводность), но математически описываются однотипными дифференциальными уравнениями. Условия однозначности для аналогичных явлений должны формулироваться тождественно, а соответствующие критерии подобия, входящие в тождественные безразмерные уравнения, должны быть численно равны. В результате безразмерные поля переменных в аналогичных физических явлениях представляют собой тождественное распределение чисел. Характерным примером аналогии является так называемая электротепловая аналогия, основанная на однотипности дифференциальных уравнений поля температуры и электрического потенциала в теле. Так для одномерных полей уравнения имеют вид

(1.33)

где U - электрический потенциал;

R - электрическое сопротивление;

С - емкость.

Уравнения, определяющие оба поля, в безразмерном виде будут, очевидно, совершенно тождественны. Безразмерные граничные условия будут тождественны только в том случае, если ими непосредственно определяется поле искомой величины на границах системы, т. е. в случае, если тепловая задача поставлена в граничных условиях первого или второго родов. Электрическая аналогия является очень эффективным средством экспериментального исследования. Замещение исследуемого процесса его электрической аналогией, как правило, создает существенные преимущества. Электрическая модель с заданными геометрическими и физическими свойствами, а также режимные условия, обычно легко реализуются. Все необходимые измерения осуществляются сравнительно просто и с очень высокой степенью точности. Особенно важное значение электрическое моделирование приобретает при исследовании сложных нестационарных процессов.

Множители аналогового преобразования находятся следующим образом. Пусть при сопоставлении основного процесса и его аналогии взаимно соответствующими величинами являются у и z. В таком случае должно быть: у/у_о=z/z_о и, следовательно, z=(z_о/y_о)∙y. Таким образом, операция, посредством которой величина у преобразуется в величину z, есть умножение ее на множитель С_zy=z_о/y_о.

Множители аналогового преобразования в отличие от множителей подобного преобразования являются величинами размерными. Во всех других отношениях свойства множителей тождественны. Уравнения типа (1.30), ограничивающие свободу выбора числовых значений множителей подобного преобразования, сохраняют силу и для аналогии.

Методы стационарной теплопроводности. Эти методы основаны на свойствах стационарного температурного поля, описываемых законом Фурье:

, (1.34)

где l - теплопроводность, Вт/(м∙К);

- градиент температуры в направлении нормали к изотермической поверхности, К/м;

F - поверхность теплообмена, м², и дифференциальным уравнением теплопроводности, которое в случае стационарного теплообмена и независимости теплопроводности от температуры принимает вид

. (1.35)

Существующие методы стационарной теплопроводности основываются на частных решениях уравнения (1.35) при определенных условиях однозначности.

Так, применительно к одномерным температурным полям плоского, цилиндрического и шарового слоев при граничных условиях первого рода теплопроводность можно определить из соотношения

, (1.36)

где Q - тепловой поток, Вт;

t_ст1, t_ст2 - температура наружной и внутренней поверхности слоя, К;

К - коэффициент формы исследуемого образца, м^-1.

Коэффициент формы для неограниченного плоского и цилиндрического слоя, а также для шарового слоя определяется по формулам

, (1.37)

где d - толщина плоского слоя, м;

F - поверхность плоского слоя, нормальная к направлению теплового потока; м²;

d₁, d₂ - внутренний и наружный диаметры цилиндрического и шарового слоя соответственно, м;

L - длина цилиндрического слоя, м.

Таким образом, для того, чтобы определить теплопроводность исследуемого материала l, необходимо измерить в стационарном режиме тепловой поток Q, проходящий через исследуемый образец, и температуры его изотермических поверхностей. Уравнение (1.37) описывает распределение температуры в твердых телах, а также в жидкостях и газах при отсутствии других (кроме теплопроводности) способов переноса теплоты. В случае зависимости теплопроводности от температуры уравнением (1.37) можно пользоваться при условии, что в исследуемом образце будет иметь место небольшой перепад температур. В этом случае полученные средние значения теплопроводности будут близки к его истинным значениям.

Стационарные методы позволяют экспериментально определить только теплопроводность. Несмотря на свою методическую простоту, практическое осуществление методов стационарной теплопроводности сталкивается с трудностями создания одномерного температурного поля в исследуемых образцах и учета тепловых потерь.

Кроме того, стационарные методы связаны со значительным временем, затрачиваемым на проведение опыта в связи с длительностью процесса выхода установки на стационарный тепловой режим.

При исследовании теплоизоляционных материалов, обладающих низкой теплопроводностью (l≤2,3 Вт/(м∙К), широкое распространение получил метод неограниченного плоского слоя, когда образцу иссле­дуемого материала придается форма тонкой круглой или квадратной пластинки. Для создания перепада температур одна поверхность пластинки нагревается, а другая охлаждается с помощью устройств, имеющих плоские поверхности, между которыми зажимается исследуемый образец.

При выборе геометрических размеров исследуемых образцов материалов с низкой теплопроводностью необходимо выполнять условие d≤(1/7 ... 1/10)∙D, где D - диаметр круглой пластины (или сторона квадрата), обеспечивающий одномерность температурного поля. Для устранения тепловых потерь с боковых поверхностей образца используют тепловую изоляцию или охранные электрические нагреватели.

К недостаткам метода следует также отнести трудности, связанные с устранением термического сопротивления, возникающие в местах контакта образца с поверхностями нагревателя и холодильника. Ошибка в определении теплопроводности за счет контактного сопротивления может достигать 10 ... 20 % при толщине образца 1,5. ..3,0 мм и становится еще больше при увеличении теплопроводности исследуемого материала. С целью уменьшения контактного термического сопротивления поверхности образца и теплообменников подвергаются тщательной обработке, а для обеспечения хорошего контакта создают значительные сжимающие усилия.

В зависимости от типа исследуемого нагревателя температура горячей поверхности может достигать 2000 °С, а температура на холодной стороне при использовании воды в качестве охлаждающей жидкости до 100 °С.

Как было отмечено ранее, метод неограниченного плоского слоя в основном используется для исследования теплофизических свойств материалов с низкой теплопроводностью, однако в последнее время его также стали использовать для определения теплопроводности различных проводников теплоты, в том числе и металлов.

Наряду с описанным методом в практике экспериментального исследования теплофизических свойств веществ широкое распространение получил также метод не ограниченного цилиндрического слоя, когда образцу исследуемого материала придается форма цилиндрической полой трубы, нагреваемой с внутренней (либо с наружной) стороны.

Разновидность метода неограниченного цилиндрического слоя (метод нагретой нити) широко используется при экспериментальном определении теплопроводности жидкостей и газов. В этом случае внутри цилиндра, заполненного исследуемой жидкостью или газом, коаксиально помещается нагревательная проволока (нить). Во избежание конвекции в качестве наружного цилиндра используется тонкий кварцевый капилляр. Внутри капилляра помещается тонкая платиновая нить. Для получения надежных результатов необходимо, чтобы платиновая нить была всегда натянута и имела строго концентрическое положение. Платиновая нить одновременно выполняет роль нагревателя и измерителя температуры (термометра сопротивления). Температура наружной поверхности измеряется термометром сопротивления.

Влияние свободной конвекции оценивается расчетным путем. Свободная конвекция практически отсутствует, если Gr∙Pr ≤ 700 ... 800.

При необходимости учета термического сопротивления стенки кварцевого стекла уравнение (1.37) для определения теплопроводности принимает вид

, (1.38)

где Dt - перепад температуры между наружным и внутренним термометрами сопротивления, К;

K₁ - коэффициент формы цилиндрического слоя исследуемого вещества, м^-1;

К₂ - коэффициент формы цилиндрической стенки кварцевого капилляра, м^-1;

l_с - теплопроводность кварца, Вт/(м∙К).

Перепад температур в стенке измерительной трубки обычно составляет 1,5 % от общего перепада Dt, а тепловыми потерями за счет теплового излучения и отвода теплоты концами измерительных проволок обычно пренебрегают.

Для исследования теплопроводности сыпучих материалов применяют также метод шарового слоя, когда образцу придается форма шаровой стенки. В этом случае коэффициент формы вычисляется по формуле (1.38).

Метод шарового слоя позволяет получить одномерное температурное поле без использования охранных устройств, однако его использование связано с трудностями равномерного заполнения пространства между двумя концентрическими шаровыми поверхностями исследуемым веществом.

Методы нестационарной теплопроводности. Данные методы базируются на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности

, (1.39)

где а=l/(r∙с) - температуропроводность, м²/с, полученных для тел простой геометрической формы и определенных граничных условий.

В отличие от стационарных, нестационарные методы позволяют ограничиться лишь измерением температуры в нескольких точках и избежать измерения тепловых потоков, что весьма затруднительно при высоких температурах.

Имеется и ряд других преимуществ нестационарных методов исследования теплофизических свойств веществ, в том числе относительно малое время проведения опыта, а также возможность получения значений теплофизических параметров в широком интервале изменения температур.

К недостаткам нестационарных методов следует отнести трудность реализации граничных условий, принятых в теории.

Ниже будет рассмотрен лишь один из методов - метод регулярного режима первого рода. С остальными методами можно ознакомиться в работах.

Метод регулярного режима первого рода вытекает из анализа решения дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности (1.39) относительно температуры при граничных условиях третьего рода

(1.40)

и соблюдении постоянства коэффициента теплоотдачи a и температуры окружающей среды t_ж.

В этом случае изменение температуры во времени для любой точки тела, имеющего форму неограниченной пластины, цилиндра или шара, при равномерном распределении температуры в начальный момент времени выражается в виде бесконечного ряда

, (1.41)

где t_o, t_ж - начальная температура тела и температура окружающей среды соответственно, К;

A_i - постоянные, определяемые из начальных условий;

F_i - функции координат и граничных условий;

n_i - постоянные, определяемые из граничных условий;

Fo = a∙t/L² - число Фурье, представляющее собой безразмерное время;

L - характерный размер тела.

Функции А_i и F_i имеют определенный вид для тел различной геометрической формы, а значения постоянных n_i табулированы и приводятся в справочниках и учебниках по теплопередаче.

Согласно уравнению (1.41) температурное поле в теле зависит от его формы, начального теплового состояния и условий его теплообмена с окружающей средой.

В начальный момент времени на температурное поле оказывают влияние все члены ряда (1.41). Однако по истечении некоторого момента времени, определяемого значением числа Fo>0,55, все члены ряда становятся малыми по сравнению с первым и распределение температуры во времени описывается только первым членом ряда

(1.42)

где .

Поскольку коэффициент m остается постоянным, то и распределение температуры в теле перестает зависеть от предшествующего теплового состояния тела.

Из уравнения также следует, что натуральный логарифм избыточной температуры в любой точке тела изменяется по линейному закону.

(1.43)

Такое тепловое состояние называют регулярным режимом первого рода.

Постоянная m, являющаяся одинаковой для всех точек тела и входящая в уравнения (1.42), (1.43),

(1.44)

называется темпом охлаждения тела.

Темп охлаждения, как это следует из уравнения (1.44), после его дифференцирования по времени

(1.45)

представляет собой относительную скорость изменения температуры во времени и может быть определен как тангенс угла наклона к температурной кривой.

(1.46)

Темп охлаждения зависит от коэффициента теплоотдачи. Эта зависимость может быть найдена из уравнения теплового баланса, так как уменьшение теплосодержания тела при его охлаждении обусловлено теплоотдачей в окружающую среду. Таким образом, учитывая постоянство температуры окружающей среды t_ж можно записать

(1.47)

где - средняя температура по объему тела, К;

t_F - средняя температура поверхности тела, К;

М - масса тела, кг;

с - удельная теплоемкость, Вт/(м∙К);

a - коэффициент теплоотдачи, Вт(м²∙К);

F - поверхность тела, м²;

t - время, с.

Разделив переменные в уравнении (1.47), получим

(1.48)

где - коэффициент неравномерности температурного поля, который при регулярном режиме охлаждения не зависит от времени.

Интегрируя (1.48), получим выражение

(1.49)

которое с учетом зависимости (1.46) принимает вид

. (1.50)

Значение коэффициента Y лежит в пределах 0≤Y≤1. Однако нахождение его конкретных значений в ряде случаев затруднительно, поэтому при постановке эксперимента стремятся обеспечить условия, при которых Y=1. Эти условия имеют место, когда термическое сопротивление тела 1/l мало по сравнению с термическим сопротивлением теплоотдачи 1/a. В этом случае весь температурный перепад сосредоточен в пограничном слое жидкости, омывающей поверхность тела, а температура тела выравнивается, т. е. и Y=1.

Отношение указанных термических сопротивлений характеризуется критерием Био

, (1.51)

а поэтому условия, при которых Y=1, осуществляются при Bi®0 (практически при Bi≤0,1).

Таким образом, при Bi®0, согласно зависимости (1.50), коэффициент теплоотдачи пропорционален темпу охлаждения

(1.52)

где B=F/(M∙c) - постоянный коэффициент, зависящий от материала и формы тела.

Зависимость темпа охлаждения от коэффициента теплоотдачи носит асимптотический характер, так как с ростом значения a растет и критерий Bi, что приводит в свою очередь к уменьшению Y. В предельном случае при a®¥, Y®0 и m стремится к конечной величине m_¥.

Регулярный режим первого рода позволяет определять теплофизические свойства веществ. В частности, он широко используется для определения температуропроводности а (м²/с), которая пропорциональна темпу охлаждения m_¥ (при a®¥)

a = К∙m. (1.53)

Коэффициент К (м²) зависит от формы и размеров тела и может быть вычислен для тел простейшей формы. Так, например, для цилиндра радиусом R и длиной L.

На практике невозможно выполнить условие a®¥ и определить m_¥. Однако в силу асимпотического характера изменения m=f(a) все же возможно оценить точность экспериментального определения величины m_¥ при конечных значениях a. Так, если довольствоваться точностью 3,5 %, то необходимо обеспечить условия проведения эксперимента, при которых

. (1.54)

Зависимость (1.52) также позволяет использовать закономерности регулярного режима первого рода для экспериментального определения коэффициентов теплоотдачи. Из материала с известными теплофизическими свойствами изготовляется тело, формой копирующее исследуемый объект (либо калориметр цилиндрической формы, заделываемый заподлицо в поверхность тела). Внутри тела закладывается дифференциальная термопара, один спай которой помещен в охлаждающую среду, а другой заделан в какой-либо точке тела. При определении коэффициента теплоотдачи тело помещают в охлаждающую среду, при этом в начальный момент времени тело должно иметь температуру, отличную от температуры среды.

Записав изменение температуры с течением времени, определяют темп охлаждения (или нагревания) по формуле (1.46), а затем вычисляют коэффициент теплоотдачи по соотношению (1.53).

Реально осуществить условие равномерности температурного поля в теле, принятое при выводе (1.53), возможно, если выполнить исследуемый образец (или калориметр) из металла. Вместе с тем при очень больших значениях коэффициента теплоотдачи а вследствие асимптотического характера зависимости m=f(a) дальнейшее увеличение а перестает влиять на темп охлаждения m, а поэтому метод регулярного режима в этом случае становится неприемлемым.

Метод регулярного режима можно применять для определения a вплоть до значений Этот метод определения коэффициента теплоотдачи, несмотря на свою универсальность, имеет одно существенное ограничение - предположение о постоянстве коэффициента теплоотдачи a во время опыта. В действительности в процессе проведения опыта температура среды остается постоянной, в то время как температура тела меняется с течением времени. Поскольку коэффициент теплоотдачи зависит от температурного фактора, то a изменяется во время опыта, что противоречит основному допущению регулярного режима. Эта особенность является методической погрешностью метода измерений.

В случае сильного влияния температурного фактора на коэффициент теплоотдачи зависимость уже не будет прямолинейной. Вместе с тем и в этом случае можно применять метод регулярного режима для определения коэффициента теплоотдачи, если температурную кривую разбить на небольшие интервалы времени Dt. Заменяя отрезки кривой отрезками прямых линий можно считать, что в этих интервалах температуры охлаждение тела протекает по экспоненциальному закону, т. е.

(1.55)

Таким образом, достаточно определить для каждого из интервалов темп охлаждения по формуле (1.55), относя его значение к средней температуре интервала, и построить зависимость .