Примеры выполнения типового расчета

В качестве примеров решим задачи, не совпадающие с приведенными условиями типового расчета.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл для рациональной дроби:

Решение
Так как степень числителя в подынтегральном выражении выше степени знаменателя, то эта рациональная дробь является неправильной. Поэтому на первом этапе решения необходимо выделить ее целую часть методом деления многочлена на многочлен.

Следовательно,

Интеграл от целой части (многочлена) вычисляется элементарно:

Вычислим теперь интеграл от правильной рациональной дроби. На первом шаге интегрирования необходимо разложить правильную дробь на сумму простейших дробей.
Вначале разложим знаменатель на множители. Если многочлен имеет действительные корни x₁ = a₁, x₂ = a₂, ..., x_k = a_k , то его можно разложить на множители (x₁ – a₁), (x₂ – a₂) , ... ,(x_k – a_k ). Поэтому найдем корни уравнения x³ – x² – 2x = 0.
Вынесем за скобки общий множитель x:
x³ – x² – 2x = x(x² – x – 2).
Отсюда следует, что первый корень многочлена, стоящего в знаменателе x₁ = 0.
Корнями квадратного уравнения x² – x – 2 = 0 являются x₂ = – 1 и x₃ = 2. Таким образом, x³ – x² – 2x = x(x² – x – 2) = x(x + 1)(x – 2). Все полученные множители имеют вид (x – a), т.е. являются множителями первой степени. Все множители разные. Поэтому имеет место следующее разложение:

,

(1)

где A, B, C – неизвестные числовые коэффициенты.
Приступаем к нахождению неизвестных числовых коэффициентов. Для этого приведем в правой части равенства (1) к общему знаменателю:

Таким образом, мы получили тождество:

Две дроби тождественно равны между собой и имеют одинаковые знаменатели, следовательно, тождественно равны и их числители:

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C применим метод частных значений. Он заключается в том, что аргументу x придают некоторые удобные значения (таковыми являются значения корней многочлена). В результате получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных числовых коэффициентов. Так, в рассматриваемом примере корни многочлена: x₁ = 0, x₂ = – 1, x₃ = 2. Подставим эти значения в равенство (2).

Тем самым коэффициенты найдены. Подставляем их в равенство (1)

В результате интеграл от правильной рациональной дроби преобразовался в интеграл от суммы простейших дробей:

Таким образом, интеграл от заданной рациональной дроби равен

Пример 2. Найти неопределенный интеграл для рациональной дроби:
.
Решение
В заданной функции степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому рациональная дробь правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей.
1) Разложим знаменатель на множители.
x³ – x² – x + 1 = x² (x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x² – 1) = (x – 1)(x – 1)(x + 1) = (x – 1)² (x + 1).
2) Разложим правильную дробь на сумму простейших дробей. В знаменателе есть два множителя первой степени (x + 1) и (x – 1)², причем множитель (x – 1) повторяется 2 раза. Множителю (x + 1) в разложении подынтегральной функции будет соответствовать простейшая дробь , а множителю (x – 1)² будет соответствовать сумма двух простейших дробей . Поэтому имеет место следующее разложение:
+ .
3) Найдем неизвестные коэффициенты A, B и C. Приведем в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем числители двух тождественно равных дробей.
+ .

Воспользуемся методом частных значений. Подставим в левую и правую часть равенства значения корней многочлена, стоящего в знаменателе.

Однако, корней многочлена больше нет, а значение коэффициента В еще не найдено. В этом случае применяют метод неопределенных коэффициентов. Основная идея метода состоит в том, что если два многочлена тождественно равны между собой, то равны числовые коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х.
Чтобы применить метод неопределенных коэффициентов, раскроем скобки в правой части равенства (3):
x + 5 = A(x – 1)² + B(x – 1)(x + 1) + C(x + 1) = A(x² – 2x + 1) + B(x² – 1) + C(x + 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, начиная со старшей, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными, откуда найдем неизвестные коэффициенты.

Однако, два коэффициента А и С уже найдены методом частных значений. Значит, чтобы найти коэффициент В, нам необходимо только первое уравнение:
A + В = 0;
1 + В = 0 => В = – 1.

Подставим найденные коэффициенты:

4) Заменим под знаком интеграла правильную рациональную дробь ее разложением на сумму простейших дробей, представим новый интеграл в виде суммы интегралов и найдем их.


Пример 3. Найти неопределенный интеграл .
Решение
Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Знаменатель уже представлен в виде двух множителей первой степени, каждый из которых повторяется 2 раза. Значит, разложение на сумму простейших дробей выглядит следующим образом:

Найдем неизвестные коэффициенты. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители:

1 = Аx(x – 1)² + B(x – 1)² + Cx²(x – 1) + Dx².
Воспользуемся методом частных значений, подставив вместо х значения корней многочлена:

Так как корней больше нет, применим метод сравнения коэффициентов. Для этого раскроем скобки в правой части равенства числителей:
1 = Аx(x – 1)² + B(x – 1)² + Cx²(x – 1) + Dx² = А(x³ – 2x² + x) + B(x² – 2x + 1) + C(x³ – x²) + Dx².
Нам необходимо найти два коэффициента, поэтому достаточно получить систему из двух уравнений.
x³ : 0 = А + C;
x² : 0 = – 2А + B – C + D.
Подставив, найденные ранее значения B и D, получили систему:

Сложим два уравнения и найдем коэффициент А:
– А = – 2 => А = 2.
Из первого уравнения С = – 2.
Получили следующее разложение в виде суммы простейших дробей:

Выполним интегрирование:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .
Решение
Под знаком интеграла находится правильная рациональная дробь. Квадратный трехчлен x² – 2x + 10 не имеет действительных корней, т.к. D = 4 – 40 < 0, следовательно, он является множителем второй степени.
Таким образом, знаменатель в подынтегральном выражении раскладывается на неповторяющийся множитель первой степени (x + 2) и неповторяющийся множитель второй степени (x² – 2x + 10). Поэтому разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей имеет следующий вид:
.
Отсюда,
4x – 10 = A(x² – 2x + 10) + (Bx + C)(x + 2) = 4x – 10 = A(x² – 2x + 10) + Bx² + Cx + 2Bx + 2C.
Присвоим аргументу х значение корня многочлена x = – 2:
x = – 2| – 18 = 18A => A = – 1.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
x² : 0 = A + B;
x¹ : 4 = – 2A + C + 2B.
Получили систему линейных уравнений:

Из первого уравнения В = 1, подставив это значение во второе уравнение, найдем C = 0.
Следовательно,
.
Первый из полученных интегралов равен

Для вычисления второго интеграла воспользуемся алгоритмом интегрирования квадратного трехчлена в знаменателе.



В итоге получили: