КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Рациональные дроби
Рациональнойдробью называется выражение вида
(2.7)
где 
– многочлены степени n и m соответственно и 
Если для рациональной дроби (2.7) выполняется 
то дробь называется неправильной, если 
– дробь называется правильной.
Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:
I. 
II. 
III. 
и у квадратного трехчлена 
IV. 
и у квадратного трехчлена 
Алгоритм разложения дроби(2.7)на простейшие дроби:
1. Если 
необходимо выделить целую часть делением многочлена 
на многочлен 
где 
– многочлен-частное (целая часть);
– правильная дробь.
2. Разложить на множители:
(2.8)
где 
3. Если разложение знаменателя имеет вид (2.8), то дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:
(2.9)
где 
– неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти.
4. Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства (2.9) к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби, т. е. 
5. Приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов 
и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использовать значения 
и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов;
в) комбинирование методов а) и б).
7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство (2.9), что и будет искомым разложением.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение. 1) Так как дробь 
неправильная, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Получим
Для правильной дроби запишем общий вид разложения:
Так как равны знаменатели, то приравниваем числители:
Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в последнее выражение последовательно х = 1, х = –3, х = 4.
При 
получим
При 
получим
При 
получим
Таким образом,
2) Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно виду множителя знаменателя:
Найдем коэффициенты 
методом неопределенных коэффициентов:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Получаем
Пришли к системе уравнений:
Решаем ее:
Таким образом, получаем
или
3) Выделим целую часть дроби 
так как она неправильная:
Знаменатель полученной правильной дроби 
разложим на множители и запишем общий вид разложения:
Вычислим коэффициенты, используя метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений:
подставим 
получим
Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство многочленов:
При 
система имеет вид:
Из нее находим:
Поэтому
4) Разлагаем знаменатель дроби 
на множители:
Записываем общий вид разложения
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем систему:
Получаем
5) Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий вид разложения на сумму простейших дробей:
При 
получаем 
Тогда
При 
система имеет вид:
Поэтому получаем:
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 144; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |