КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Рациональные дроби ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Рациональнойдробью называется выражение вида (2.7) где – многочлены степени n и m соответственно и Если для рациональной дроби (2.7) выполняется то дробь называется неправильной, если – дробь называется правильной. Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей: I. II. III. и у квадратного трехчлена IV. и у квадратного трехчлена Алгоритм разложения дроби(2.7)на простейшие дроби: 1. Если необходимо выделить целую часть делением многочлена на многочлен где – многочлен-частное (целая часть); – правильная дробь. 2. Разложить на множители: (2.8) где 3. Если разложение знаменателя имеет вид (2.8), то дробь можно представить в виде суммы простейших дробей: (2.9) где – неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти. 4. Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства (2.9) к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби, т. е. 5. Приравнять числители дробей. 6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы: а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя; б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использовать значения и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов; в) комбинирование методов а) и б). 7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство (2.9), что и будет искомым разложением.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби: 1) 2) 3) 4) 5) Решение. 1) Так как дробь неправильная, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Получим Для правильной дроби запишем общий вид разложения: Так как равны знаменатели, то приравниваем числители: Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в последнее выражение последовательно х = 1, х = –3, х = 4. При получим При получим При получим Таким образом, 2) Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно виду множителя знаменателя: Найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов: Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Получаем Пришли к системе уравнений: Решаем ее: Таким образом, получаем или 3) Выделим целую часть дроби так как она неправильная: Знаменатель полученной правильной дроби разложим на множители и запишем общий вид разложения: Вычислим коэффициенты, используя метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений: подставим получим Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство многочленов: При система имеет вид: Из нее находим: Поэтому 4) Разлагаем знаменатель дроби на множители: Записываем общий вид разложения Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем систему: Получаем 5) Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий вид разложения на сумму простейших дробей: При получаем Тогда При система имеет вид: Поэтому получаем:
|