Уравнения прямой в пространстве

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий геометрии.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Согласно примеру Д. Гильберта («точкой можно назвать хоть стул»), может обозначать достаточно произвольные объекты, даже изображение которых будет зависеть от выбранной аксиоматики и/или модели геометрии. Например, в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского прямыми являются полуокружности.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

[править]Свойства прямой в евклидовой геометрии

· Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

· Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

· В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

· прямые пересекаются;

· прямые параллельны;

· прямые скрещиваются.

· Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

[править]Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
или .

[править]Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где , и — произвольные постоянные, причем постоянные и не равны нулю одновременно. Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде

[править]Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и образующей угол с положительным направлением оси :

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси

Получение уравнения прямой в отрезках

[править]Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и ось в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

[править]Нормальное уравнение прямой

где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра. Если , то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой [показать]

Если прямая задана общим уравнением то отрезки и отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент расстояние прямой от начала координат и выражаются через коэффициенты , и следующим образом:

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие В этом случае и являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

[править]Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

или

или в общем виде

Получение векторного параметрического уравнения прямой

[править]Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.

[править]Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где — производный параметр, — координаты и направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

[править]Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод [показать]

где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

[править]Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах и :

или

[править]Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

Числа и называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

[править]Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Векторное уравнение прямой в пространстве^[1]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :

где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

[править]Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки от прямой может быть найдено по формуле

где знак перед радикалом противоположен знаку Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент этой точки может быть найден по формуле

[править]Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке

Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами , , , и ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если или , и перпендикулярны, если или .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением можно выразить уравнением При этом расстояние между этими прямыми будет равно

Если знак перед радикалом противоположен то будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если и , то прямые и перпендикулярны.