Целые занятия.

Одесский национальный медицинский университет

Кафедра биофизики, информатики и медицинской аппаратуры

Методические указания

студентам 1 курса по теме

“Дифференциальные уравнения”

Одесса 2009 г.

1.Тема: “Дифференциальные уравнения”.

Актуальность темы.

Актуальность этой темы, а также и других в разделе “Математическая обработка медико-биологических данных” определяется, в частности, широким использованием методов математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики в медицине и здравоохранении. Что касается темы этого занятия раздела, то ее актуальность определяется тем, что для приблизительного описания функционирования отдельных систем и органов, моделей биологических систем чаще всего используют дифференциальные уравнения и их системы.

Знакомство с идеями и методами теории дифференциальных уравнений и их систем является необходимым элементом профессионального образования каждого работника здравоохранения. Быстрый рост роли математических методов описания и анализа функционирования в последние годы связанное со стремительным развитием компьютерной техники и, особенно, соответствующего программного обеспечения.

С некоторыми программами моделирования и анализа медико-биологических процессов, которые используют системы дифференциальных уравнений Вы познакомитесь на 2 курса, изучая курс "Медицинской информатики".

Целые занятия.

Общей цілью занятие есть научить студентам сознательно использовать дифференциальные уравнения при решении задач медико-биологического профиля.

Конкретные целые занятия – научить студентам:

1. различать дифференциальные уравнения от других типов уравнений;

2. различать дифференциальные уравнения разных типов - обычные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения у частинних производных;

3. различать дифференциальные уравнения разных порядков;

4. различать общий и отдельные решения дифференциального уравнения;

5. описывать простые связи между медицинскими величинами, используя дифференциальные уравнения;

6. решать дифференциальные уравнения с розділяючимися сменными.

Студент должен знать (2 уровень):

1. определение дифференциального уравнения;

2. определение обычного дифференциального уравнения;

3. определение дифференциального уравнения у частинних производных;

4. определение порядка дифференциального уравнения;

5. определение общий решению обычного дифференциального уравнения;

Студент должен овладеть элементарными привычками (3 уровень):

1. описание простых связей между медицинскими величинами с использованием дифференциальных уравнений;

2. решать решать дифференциальные уравнения с розділяючимися сменными.

4. Пути реализации целей занятия:

Для реализации целей занятия Вам необходимые такие исходные знания:

1. Определение первоначальной функции

2. Определение неопределенного интегралу

3. Определение определенного интегралу

4. Линейные свойства интеграла.

5. Геометрическое содержание неопределенного интеграла.

6. Основные неопределенные интегралы.

7. Метод замены сменной.

8. Определенный интеграл и его геометрическое содержание.

9. Формула Ньютона-Лейбніца.

10. Среднее значение функции.

5. Задача для проверки студентами своего исходного уровня знаний.

1 . (Правильный ответ )

2 (Правильный ответ )

3 . (Правильный ответ )

4 . (Правильный ответ .)

5 . (Правильный ответ .)

6 . (Правильный ответ )

6. Информацию для упрочения исходных знаний-умений можно найти в пособиях:

1 Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.

2 Жуматій П.Г. “ Основы интегрального исчисления”. Одесса, 2009.

3 Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.

Содержание учебного материала из данной темы с выделением основных узловых вопросов.

Уравнение, в которые неизвестные функции входят под знаком производной или дифференциала называются дифференциальными уравнениями.

Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции являются функциями одной сменной, то это обычное дифференциальное уравнение.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, который входит у уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения порядка n называется функция

,

которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождественность; кiлькiсть произвольных постоянных определяется порядком уравнения.

Частинним решением дифференциального уравнения называется функция, полученная из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных.

С геометрической точки зрения общее решение представляет собой семью кривих, а частинний решение отдельную кривую этой семьи.

Дифференциальное уравнение с розділяючимися сменными имеет вид

.

Для розв'зання этих уравнений необходимо:

1. разділити сменные;

2. найти общее решение;

3. найти частинний решение, соответствующее начальным условиям.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями больше чем одной сменной, называются дифференциальными уравнениями у частинних производных. Рассмотрим несколько примеров применения дифференциальных уравнений у частинних производных в медицине и биологии.

Пример 1.

Уравнение Юнга-Кортевега

описывает процесс распространения пульсовой волны по аорте и артериям при выброса крови из левого шлуночка в период систолы. Скорость распространения v пульсовой волны равняется

,

где E - модуль упругости стенки сосуды, h - диаметр сосуды, r - плотность крови.

Уравнение Юнга-Кортевега - дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка, поскольку у него входят вторые частинні производные змінення радиуса сосуды при расширении по времени t и координатой x.

Пример 2.

Уравнение

описывает распространение по нервному волокну біопотенціалу действия V. В этом уравнении и - удельные опіри аксоплазми и вещества мембраны нерва, и l - электроемкость единицы площади и толщина мембраны, а r - радиус нервного волокна. В это уравнение входят біопотенціал действия V и его первые и вторые частинні производные, поэтому и в этом случае мы имеем дело с дифференциальным уравнением у частинних производных второго порядка.

Пример 3.

Математическая модель динамики зажигательного процесса инфекционной етіології описывается уравнениям

где n - численность популяции патогенных микроорганизмов, k - коэффициент диффузии инфекционных агентов, a - коэффициент, который определяет относительную скорость размножения инфекционных агентов, b - коэффициент иммунной активности, которая характеризует смертность инфекционных агентов. У уравнения входят численность n популяции патогенных микроорганизмов и ее первые и вторые частинні производные, итак, это также дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка.

Пример 4.

В модели Роутона рассматривается нестационарная диффузия кислорода в плоский пласта гемоглобина с учетом кинетики оксигенації гемоглобина. Соответствующее уравнение имеет вид

.

где k, p и a - коэффициент диффузии, парциальная давка и розчинюваність кислорода, k и y - постоянные скорости реакции оксигенації и концентрация гемоглобина. Это дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка.

Пример 5.

Распределение частоты мутантного гену определяется решением дифференциального уравнения у частинних производных второго порядка

,

где k - коэффициент диффузии, m - коэффициент, который характеризует степень селективного преимущества доминантного гену.