ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого по­рядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2) Дифференциальные уравнения первого порядка: с разде­ляющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним.

3) Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.

4) Уравнения в полных дифференциалах.

5) Приближенное интегрирование дифференциальных урав­нений первого порядка методом изоклин.

6) Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственно­сти решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.

7) Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

8) Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

9) Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

10) Условие линейной независимости решений линейного од­нородного дифференциального уравнения.

11) Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

12) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.

13) Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

14) Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней харак­теристического уравнения).

15) Линейные однородные дифференциальные уравнении с постоянными коэффициентами (случай кратных корней харак­теристического уравнения).

16) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Пусть — решение дифференциального уравнения . Показать, что введение новой искомой функции приводит к дифференциальному уравнению, допускаю­щему понижение порядка.

2) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения .

3) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения , соответствую­щие максимумам и минимумам.

Как отличить максимум от минимума?

4) Линейное дифференциальное уравнение останется ли­нейным при замене независимой переменной , где функция произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Доказать это утверждение для линейного дифферен­циального уравнения второго порядка.

5) Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции

Здесь — новая искомая функция ,и — про­извольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.

6) Составить общее решение уравнения , если известно ненулевое частное решение этого уравнения.

7) Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции и являются решениями линейного диффе­ренциального уравнения

8) Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее .

Показать, что функции и линейно независимы в интер­вале .

Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функ­ций равен нулю в точке . Почему это не противоречит необ­ходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

9) Найти общее решение неоднородного линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения , , ?,.

10)Доказать, что для того чтобы любое решение линейно­го однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию, , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.