Аттракторы с мягким возникновением автоколебаний

Изучить процессы в диссипативных динамических системах на следующих моделях систем:

А) Генератор Ван Дер Поля:

Параметры:

> 0 – коэффициенты, описывающие характеристики усилителя;

- собственная частота колебательного контура;

M>0 - коэффициент взаимоиндукции.

Историческая справка: Данная система уравнений описывает электрические колебания в замкнутом RLC-контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне. Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре mu заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления.

Задания и вопросы №1:

· Зависит ли вид предельного цикла от начальных условий?

· Какие притягивающие многообразия можно наблюдать в системе при различных параметрах и начальных условиях? Показать на примерах. Построить векторные поля.

Б) Упрощенная модель Брюсселятора:

Параметр A>0, B>0.

Историческая справка: Система описывает гипотетическую химическую реакцию с участием нескольких веществ, которая получила название брюсселятор.

Превращения идут в некотором химическом реакторе по следующей схеме:

A ↔ X,

B + X ↔ Y + D,

2X + Y ↔ 3X,

X ↔ E.

Концентрации веществ А и В в реакторе поддерживаются постоянными (или имеются в избытке), а вещества D и Е некоторым образом удаляются или в реакции не вступают. Скорости обратных реакций считаются много меньшими скоростей прямых реакций.

Задания и вопросы №2:

· Зависит ли вид предельного цикла от начальных условий?

· Зависит ли вид предельного цикла от начальных условий?

· Какие притягивающие многообразия можно наблюдать в системе при различных параметрах и начальных условиях? Показать на примерах. Построить векторные поля.

2 Аттракторы с «жестким» возникновением автоколебаний

Изучить процессы в следующей диссипативной динамической системе:

Параметры

· Определить критическое начальное значение возникновения автоколебаний.

· Построить векторное поле в окрестности предельного цикла.

· Показать «в динамике» изменение фазового портрета при приближении к критическому значению

Разрывные системы:

Изучить процессы в диссипативных динамических системах на следующей модели системы:

- Нелинейность типа реле, линейная функция переключения:

Параметры

Задания и вопросы №3:

· Исследовать область допустимых значений параметров и , при которых возникают автоколебания.

· Исследовать влияние параметров и на вид фазового портрета.

· Является ли данная система системой с «жестким» возникновением автоколебаний?

· Какие притягивающие многообразия можно наблюдать в системе? Показать на примерах. Построить векторные поля.