КВАЛИФИКАЦИОННЫЕ» ЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

(весна-осень 2011 г.)

1. Определить энергию основного состояния системы из N фермионов в объеме V, взаимодействующих по закону:

при условии малости α и β.

2. Без учета обменных эффектов найти дифференциальное сечение антистоксова радиационного рассеяния быстрого электрона на атоме водорода: eH(2p)→e΄H(1s)γ.

3. Для атома с конфигурацией (…)np² после усреднения по переменным электронов заполненных оболочек и радиальным координатам электронов np-оболочки гамильтонианы остаточного и спин-орбитального взаимодействий приобрели следующий вид:

.

Сколько подуровней обнаружит в тонкой структуре соответствующего уровня спектроскопический прибор, разрешающая способность которого δ = 1.5 эВ, если атом помещен в магнитное поле, причем A=40 эВ, ξ=4 эВ, μ₀ H=3 эВ ?

4. Найти число частиц, рожденных из вакуума заряженного скалярного безмассового поля при включении на время τ однородного электрического поля с напряженностью E (следует использовать дополнительно предположения о величине параметров задачи).

5. На частицу массы m в одномерном ящике (0 ≤ x ≤ L) действует однородное силовое поле

причем . При t=0 частица находится в основном (п=1) состоянии. Найти вероятность обнаружения частицы в состоянии с п = 3 в момент времени t = 600 T .

6. В кварковой модели адронов считается, что π⁺-мезон состоит из u-кварка и đ-антикварка (m(π⁺)≈139.6 МэВ), π^- = dū , π⁰ =(uū-dđ)/ √2 (m(π⁰)≈135 МэВ). Нуклоны считаются состоящими из трех кварков, различающихся значением дополнительного квантового числа – цвета: p=uud (m(p)≈938.26 МэВ), n=udd (m(n)≈939.55 МэВ). Рассмотреть модель, в которой сильное взаимодействие нерелятивистских кварков считается осцилляторным, и константа этого взаимодействия имеет одно значение для любой пары кварков (k₁) и для любой пары кварк-антикварк (k₂), а их электромагнитное взаимодействие можно считать малой поправкой к сильному. Подобрать значения параметров модели (масс кварков и констант взаимодействия), исходя из значений масс пионов и нуклонов, и вычислить в рамках этой модели массу низшего из нуклонных резонансов (низшего возбужденного состояния системы uud). Каковы основные недостатки этой модели?

7. Рассмотреть систему двух спинорных частиц во внешнем магнитном поле, взаимодействие которых зависит от направления поля нелинейным образом:

Пусть в начальный момент времени система находилась в состоянии с нулевыми значениями полного импульса, полного спина и проекции полного спина на направление поля. Насколько велика вероятность покинуть это состояние за достаточно длительное время при действии возмущения

?

8. Система атомов с полным моментом J, закрепленных неподвижно в узлах кубической решетки с периодом a, помещена в однородное и постоянное магнитное поле, направленное по оси z. С учетом взаимодействия атомов гамильтониан системы имеет вид

Получить общее дисперсионное соотношение для «магнонов» (квазичастиц, отвечающих распространению волн переворота спина на фоне «магнонного вакуума», совпадающего с основным состоянием решетки) и найти эффективную массу длинноволновых (λ >> a/ε) и максимальную энергию в спектре коротковолновых (λ << a) магнонов.

9. Нерелятивистский электрон, помещенный в однородное постоянное магнитное поле, находится в стационарном состоянии с определенными значениями p_z=0 и х-координаты центра ларморовской окружности х_с=0 (ось z направлена по полю, векторный потенциал выбран так, что имеет только y-компоненту: А_у=Вх). Можно определить операторы:

а) Показать, что их можно рассматривать как операторы рождения и уничтожения «квазичастиц»; выразить гамильтониан (в подпространстве таких состояний) через эти операторы; найти уровни энергии. Чему равна энергия «вакуума»?

б) Построить унитарное преобразование, перемешивающее «бозонные» и «фермионные» степени свободы и оставляющее гамильтониан инвариантным. Выразить гамильтониан через генераторы этого преобразования «суперсимметрии».

10. В некоторых моделях в физике элементарных частиц предполагается, что помимо регистрируемых в экспериментах нейтрино в состоянии со спиральностью –1 существуют и нейтрино в состоянии со спиральностью +1, но они не участвуют в слабом взаимодействии с веществом. Во многих подобных моделях нейтрино имеют малый, но ненулевой магнитный момент μ. Таким образом, гамильтониан, описывающий эволюцию состояния нейтрино при движении через слой вещества с переменной плотностью (ось z направлена по оси нейтринного пучка), в присутствии магнитного поля, ориентированного под углом α к оси z, можно (в «сопутствующей» системе отсчета) записать в виде:

,

где , а в качестве базисных состояний выбраны состояния с определенным р и определенной спиральностью –1 и +1 соответственно (последнее слагаемое описывает взаимодействие с веществом, в котором участвуют только левополяризованные нейтрино). Пусть на входе в вещество (при z=0) нейтринный пучок состоит только из левополяризованных нейтрино, а изменение поля и плотности вещества

.

Оценить долю правополяризованных нейтрино в пучке в середине слоя (z=R/2) и на выходе из вещества (z=R), если .

11. Две упругие частицы одинаковой массы m, связанные невесомой нерастяжимой

нитью длины L могут двигаться вдоль координатной оси x. При t=0 волновая функция системы с хорошей точностью описывается выражением

Найти (с той же точностью) выражение для волновой функции в момент времени t и оценить относительную амплитуду вариаций во времени среднего расстояния между частицами:

.

12. Найти с точностью не хуже 1% полное сечение рассеяния неполяризованных тождественных спинорных частиц массы m с энергией ,взаимодействующих по закону:

.

13. Найти положение подуровней тонкой структуры уровня иона в конфигурации 2р² с точностью не хуже 5% (требуется аналитическое решение!). Возможно ли экспериментальное различение компонент тонкой структуры этого уровня (ответ обосновать)?

14. С помощью метода Хартри – Фока найти энергию основного состояния системы

из трех тождественных спинорных частиц с гамильтонианом

.

Насколько точен полученный результат?

15. В рамках модели Томаса-Ферми вычислить минимальную энергию фотона, при которой возможна реакция .