Решение. При расчете результирующей погрешности канала необходимо каждой из составляющих погрешности приписать соответствующий закон распределения

При расчете результирующей погрешности канала необходимо каждой из составляющих погрешности приписать соответствующий закон распределения, найти СКО и подразделить погрешности на аддитивные и мультипликативные. Все расчеты, как максимальных погрешностей, так и СКО следует вести в относительных приведенных значениях и сохранять при промежуточных округлениях один лишний недостоверный знак в их значениях с тем, чтобы округление произвести лишь над окончательным результатом.

1. Погрешность от наводки на линию связи может быть приближенно рассчитана следующим образом. При присоединении к линии электронного вольтметра с входным сопротивлением R_вх = 1 Мом падение напряжения на этом сопротивлении составляет 3600 мВ, т.е. через него проходит ток

При замыкании линии связи на сопротивление датчика R_Д=100 Ом падение напряжения на нем от этого тока составит

Таким образом, приведенная погрешность от наводки при максимальном сигнале датчика, равном 190 Ом, будет

Поскольку исходное значение наводки U_нав = 200 мВ было сосчитано по шкале вольтметра, т.е. являлось действующим (средним квадратическим) значением, то полученная оценка погрешности от наводки и есть ее СКО σ_нав = 0,011%

Погрешность от наводки на вход прибора или линия связи синусоидального напряжения силовых цепей с частотой 50 (400) Гц имеет арксинусоидальное распределение. Следовательно, энтропийный коэффициент этого распределения К_нав =1,1, контрэксцесс χ=0,816, эксцесс ε =1,5. максимальное значение погрешности от наводки

В данном случае напряжение наводки возрастет линейно с ростом входного сигнала, т.е. погрешность от наводки оказывается мультипликативной.

2. Определим СКО Д, исходя из следующих соображений. Основная погрешность Д нормирована по паспорту максимальным значением γ_мД = 0,05%. Для того, чтобы от этого значения перейти к СКО, необходимо знание вида закона распределения погрешности. Одной из составляющих погрешности Д является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков его обмотки, по которым скользит подвижный контакт. Эта типовая погрешность имеет нормальное распределение. Абсолютная погрешность дискретности ∆ при n = 1500 составляет . Относительная погрешность дискретности

Т.к. для Д нормируемая погрешность также равна 0,05%, то распределение погрешности можно считать равномерным. Тогда γ_mД=0,05% можно считать половиной ширины этого равномерного распределения. Тогда СКО составит

Для равномерного распределения К =1,73, χ=0,745, ε =1,8.

3. Определим температурную погрешность Д, исходя из следующих соображений. Датчик с R_Д=100 Ом включен последовательно с двумя жилами медной линии сопротивления r_св = 2 Ом каждая. Абсолютное изменение сопротивления каждой из жил составит

, где α_Θ=+4%/10⁰С – температурный коэффициент меди. Относительная температурная погрешность Д

Поскольку закон распределения температуры в испытательном цехе нормальный, то по таблице нормального распределения находим, что вероятности Р_Д=0,9 соответствуют границы . Отсюда СКО

Параметры закона распределения К =1,73, χ=0,745, ε =1,8.

4. Определим погрешность Д от колебаний напряжения питания. Она мультипликативна и распределена по тому же закону, что и отклонения напряжения сети от своего номинального значения 220 В. Распределение напряжения сети близко к треугольному с пределами . Стабилизатор снижает размах колебаний напряжения в К_сm = 25 раз, т.е. на выходе стабилизатора распределение так же треугольное, но с размахом 15%/25=0,6%. Поэтому максимальное значение этой погрешности γ_mUД=0,6%. СКО для треугольного распределения . Параметры этого распределения К =2,02, χ=0,65, ε =2,4.

5. Погрешность коэффициента усиления У является чисто мультипликативной и распределена также по треугольному закону, т.к. вызывается колебаниями напряжения питания. Максимальное значение погрешности . СКО составляет . Параметры закона распределения К =2,066, χ=0,577, ε =3.

6. Погрешность смещения нуля У при колебании температуры является аддитивной, а закон ее распределения повторяет закон распределения температуры в лаборатории, где установлены У и ЦВ. Поскольку закон распределения температуры в лаборатории в пределах от 18 до 24^о С можно считать равномерным со средним значением 21^о и размахом ^оС, то максимальное значение этой погрешности при ψ_Θy =0,2%/10^оС составляет . СКО . Параметры этого распределения К =1,73, χ=0,745, ε =1,8.

7. Погрешность цифрового вольтметра ЦВ нормирована двучленной формулой. Ее приведенное значение равно 0,15 при Х=0 и линейно возрастает до 0,5% в конце шкалы. Но при использовании в измерительном канале ЦВ возникает ситуация, которая требует особого рассмотрения. Максимальный сигнал датчика в данном случае равен 190 мВ. При номинальном коэффициенте усиления У К_у =10 ,выходное напряжение У будет также равно 190 мВ. Пределы же измерений ЦВ, как правило, кратны 10 (например, 100,10 и 1В). При использовании в рассматриваемом канале измерений на пределе 1В=1000мВ он обеспечивает удобный отсчет измерений непосредственно в мВ, но расчет его погрешности в этом случае имеет некоторые особенности, ввиду неполного использования шкалы. Особенность расчета погрешности в таком случае состоит в том, что приведенное значение погрешности должно рассчитываться для предела именно 190мВ, в то время как приведенная погрешность ЦВ дана для предела измерений Х_к =1000 мВ. Для этого должна быть вычислена абсолютная погрешность в точках начала и конца этого нового диапазона и отнесена к его концу. Абсолютная погрешность при Х=0 ЦВ класса с/d

Приведенное значение погрешности к пределу измерений Х_k кан.данного канала

. Абсолютная погрешность ЦВ при Х=190 мВ

.Приведенное к пределу измерений канала значение погрешности .

Таким образом, неполное использование диапазона ЦВ приводит к существенному возрастанию приведенной погрешности измерения, в данном случае с 0,5 /0,2 до 1,35 / 1,05. Для перехода от максимальной погрешности ЦВ к СКО необходимо знание вида закона распределения этой погрешности. Будем считать, что распределение погрешности ЦВ является композицией равномерного распределения (ряд узлов) и экспоненциального с показателем степени а = 0,5 и с дисперсией, составляющей 1/13 общей дисперсии. Тогда погрешность ЦВ содержит две части при Х = 0;

;

;

в конце диапазона измерений канала

; .

Параметры экспоненциального распределения с a = 0,5 [4, с. 58]

к =1,35, c =0,2, e = 25,2.

Таким образом, после выполнения пп.1-7 все составляющие разделены на аддитивные и мультипликативные, им приписаны законы распределения и вычислены СКО.

8. Произведем суммирование погрешностей, т. е. расчет результирующей погрешности канала. Результирующая погрешность канала сводится к вычислению приведенной погрешности при Х = 0 (которая складывается из аддитивных составляющих) и в конце диапазона (которая складывается из всех составляющих - аддитивных и мультипликативных).

Выбор метода суммирования (складывать алгебраически или геометрически) зависит от того, являются ли суммируемые погрешности коррелированными или независимыми. Следовательно, целесообразно сразу выделить коррелированные погрешности и произвести их алгебраическое сложение. Коррелированными являются те погрешности, которые вызываются одной и той же общей причиной, а поэтому имеют одинаковую форму закона распределения, которая остается справедливой для их алгебраической суммы.

В данном примере это погрешность датчика Д и усилителя У от колебаний напряжения питания U , имеющая треугольный закон распределения, а также погрешность У и ЦВ от колебаний температуры в лаборатории, имеющая равномерный закон распределения. Однако погрешность от колебания температуры Д и У – это некоррелированные погрешности, так как их вызывают разные температуры (в цехе и в лаборатории). Для алгебраического суммирования коррелированных погрешностей необходимо установить их знаки. Так, коэффициент влияния на погрешность К_уот колебаний напряжения питания является положительным , т.е. коэффициент усиления с ростом напряжения питания возрастает. Также положительным является коэффициент влияния на погрешность от колебания напряжения питания датчика. Поэтому результирующее значение этих погрешностей равно просто их сумме 0,245+0,184 = 0,429, а закон распределения этой суммарной погрешности сохраняется треугольным.

Уточним правила пренебрежения малыми составляющими при геометрическом суммировании погрешностей. Могут быть опущены одна малая составляющая, если она в 5 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, две составляющие, если они в 6 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, три составляющих, если они в 7 раз меньше. Но делать такое заключение можно только после суммирования коррелируемых составляющих и приведенных числовых значений погрешности к СКО.

В данном случае погрешность начала диапазона канала будет складываться из двух составляющих погрешности ЦВ ( с равномерным распределением с

= 0,5824% и с экспоненциальным распределением = 0,1681%) и погрешности Д с равномерным распределением и = 0,075%. Составляющими же = 0,029% и = 0,034% можно пренебречь,так как даже большая из них в 8 раз меньше, чем = 0,5824%.

Начнем суммирование с двух равномерно распределенных составляющих. Тогда . Вес дисперсии второй составляющей . Эксцесс этого распределения определим по (6):

=1,8(0,98)² + 6´0,98(1 -0,98)+ 1,8(1 - 0,98²⁾ = 1,68

Контрэксцесс распределения . По кривой 3 ( рис. 2а методички) определим значение энтропийного коэффициента .

Для суммирования этого распределения с экспоненциальной составляющей погрешности Р с a = 0,5 и k = 1,35 соответствующей кривой на рисунке нет. При Р = 0 она должна начинаться в точке k = 1,83, а заканчиваться при

Р = 1 в точке k = 1,35. При Р = 0,1 - 0,2 она пойдет вверх, как и все кривые, но достигает максимума в области при Р > 0,3 аналогично кривой 4 (рис. 2а методички), имеющей максимум при Р = 0,7. Этот максимум .по-видимому, не должен превышать К = 2,02 , характерного для максимума кривой 3 на рис. 2а, а спад ее в области Р = 0,9 - 1 должен быть аналогичен спаду кривых 4 и 5 на рис. 2б. Этих соображений достаточно, чтобы ориентировочно провести эту кривую. С.к.о. погрешности в начале диапазона канала

.

Вес экспоненциальной составляющей . Эксцесс этого распределения .Контрэксцесс .Отсюда значение энтропийного коэффициента по построенной нами кривой составляет Кн = 1,99 и энтропийное значение погрешности в начале диапазона канала с цифровым регистратором . Для определения погрешности в конце диапазона канала нужно к составляющим погрешности ЦВ в конце диапазона с равномерным ( =0,7488%) и экспоненциальным( =0,2162%) распре-делением прибавить мультипликативные погрешности от колебаний напряжения питания ( =0,429%) с треугольным распределением и погрешностью от наводки ( =0,011 % ) с арксинусоидальным распределением. В данном случае погрешностью датчика можно пренебречь, так как отношение . Просуммируем сначала самые низкоэнтропийные из этих составляющих ( =0,011% с =1,11 и =0,2162% с =1,35)

.

Вес дисперсии экспоненциальной составляющей .

Эксцесс

1,5 ´ (0,97)² + 6 ´ 0,03 ´ 0,97 + 25,2 ´ (0,999) = 26,76

Контрэксцесс

Для определения значения энтропийного коэффициента воспользуемся кривой 4 ( рис. 2а методички ), соответствующей суммированию арксинусоидальной (k = 1,11) и равномерной (k=1,73) составляющих. Нужная нам кривая в своей начальной части совпадает с этой кривой, а при Р→1 проходит несколько ниже. При малых значениях Р (Р = 0,97) расхождение будет малым. Отсюда =1,87. Теперь возьмём треугольное распределение с =0,429% и = 2,02 и сложим с ним полученную составляющую. Вес дисперсии второй составляющей Р = 0,48 / 0,2188 = 0,7918

Эксцесс

Контрэксцесс c = 0,56

СКО погрешности в конце диапазона .

Вес близкой к нормальному распределению составляющей равен .

Эксцесс .

Контрэксцесс .

На кривой такому весу соответствует энтропийный коэффициент, почти совпадающий с К нормального распределения, следовательно, в нашем случае К будет почти совпадать с К=2,04. Энтропийное значение погрешности в конце диапазона будет

Общая формула для вычисления приведенной погрешности результатов измерения при любом Х может быть записана

.

Пределы допускаемых погрешностей канала при его ежегодных поверках сделаем не менее чем с 25%-ным запасом по отношению к вычисленным погрешностям. Для внесения в официальные документы в соответствии с ГОСТ 8.401-80 класс точности канала должен быть указан как 1,0/1,5

Список использованной литературы:

1. Основы приборостроения: Рабочая программа, задание на контрольную работу и методические указания к ее выполнению. Составитель В. М. Станякин. – СПб.: СЗТУ, 2004.