Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


МОНТЕ-КАРЛО




ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ

 

Цель работы — знакомство с численными методами Монте-Карло, вычисление методом Монте-Карло кратного интеграла от заданной функции в выпуклой области.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу вычисления n-мерного интеграла

в области V с границей Г, вложенной в n-мерный параллелепипед

W = [ai £ xi £ bi; i = 1, 2, …, n},

имеющий объем

(7.1)
½W½ = (b1a1)(b2a2) … (bnan).

Рис. 7.1. Область интегрирования в случае двух переменных

На рис. 7.1 изображена область интегрирования V с границей Г, вложенная в прямоугольник W (n = 2).

По теореме о среднем в интегральном исчислении среднее значение функции f(x) по области V дается равенством

(7.2)

где ½V½ — объем области V. Для вычисления с помощью генератора случайных чисел R, равновероятных на (0, 1), будем генерировать случайные точки X(k) с координатами

равномерно распределенные в параллелепипеде W. Значение находится усреднением f(x) по точкам X(k), принадлежащим области V:

где M — число точек X(k), принадлежащих V.

Объем ½V½ области V можно приближенно оценить по формуле

где N — общее число случайных точек X(k) в W, а ½W½ определяется формулой (7.1). Исходя из формулы (7.2) находим оценку интеграла I:

(7.3)

Принадлежность точки X(k) области V можно устанавливать по заданной границе Г. Пусть, например, граница Г имеет уравнение

Г(x) = 0, и точки x, удовлетворяющие условию Г(x) £ 0, принадлежат области V. Тогда в сумму (7.3) следует включить все точки X(k), удовлетворяющие условию

Г(X(k)) £ 0.

В теории вероятностей показано, что погрешность интегри­рования методом Монте-Карло имеет порядок О(N-1/2), т.е. очень медленно убывает с ростом N. Тем не менее, при той же погрешности интегрирование методом Монте-Карло выполняет­ся на компьютере быстрее, чем другими методами уже при n>3, а при n>6 – это единственно приемлемый метод интегрирования.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Методом Монте-Карло найти объемный заряд

в трехмерной области V, ограниченной эллипсоидом

с нормированной плотностью заряда .

 

ВАРИАНТЫ ФУНКЦИЙ

 

2. Температура Т в точках х=(х12,xз) шара

изменяется со временем t по закону

Найти среднюю температуру шара за время [t1, t2] по формуле

где - объём шара.

В качестве T(x,t)принять

где ρ(х) — одна из функции предыдущего задания, g1=0.l ÷0.9

(i =1,2,3).

3. Вычислить объем |V| тела, ограниченного шестимерным эллипсоидом

Вычисление выполнить методом Монте-Карло по формуле

 

 

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

Вычисление интеграла проведем для нескольких значений N, заданных отдельным массивом N (L) в головной программе. Соответственно, в программе следует организовать выдачи результатов по достижении числаслучайных чисел очередного значения N из массива. Это даст возможность наблюдать за изменением результатов и сходимостью интегрирования с ростом N.

Блок-схема программы представлена на рис. 7.2. Основу программы составляет цикл (блоки 3-10) по l от l до L, где L —заданное число вариантов с различным количеством случайных чисел Nl, для которых осуществляется выдача результатов. В блоке 4 происходит обращение к датчику случайных чисел для вычисления ξ. На рисунке j — текущее число случайных точек, М — число случай­ных точек в области V, — оценки интеграла I и объема области V.

В качестве теста необходимо вычислить объём эллипсоида в трёхмерной области в соответствии с пунктом 3 задания. Известно аналитическое решение

 

 

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

 

Отчет должен содержать:

· формулы подынтегральной функции и границы области

интегрирования для конкретного варианта;текст программы;

· значения интеграла для нескольких значений N, выбран-

ных в диапазоне N~ 102- 104.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие численные методы называются методами Монте- Кар-

ло?

2. Как вычисляются кратные интегралы методом Монте-Карло?

3. Как получена формула (7.3)?

4. Каков порядок погрешности интегрирования методом Монте-Карло?

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Глава 3 Метод Монте - Карло | 
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты