Решение. Исходя из ранее полученного выражения для Li (6.10), с учетом (6.13) можно записать

Исходя из ранее полученного выражения для L_i (6.10), с учетом (6.13) можно записать

.

Для дальнейшего удобно сигнал разложить на квадратурные составляющие по углу Q_k

Тогда

,

где

, (6.25)

.

Вернемся к отношению правдоподобия

.

Найдем математическое ожидание отношения правдоподобия (6.24)

.

Учитывая, что – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка, получим

.

Окончательно искомый алгоритм можно записать в виде

.

В таком виде алгоритм сложен для реализации. Для его упрощения можно применить любую монотонную функцию к выражению, стоящему в прямоугольных скобках [x], например, ln[x], что не изменит его суть

. (6.26)

Из алгоритма (6.26) вытекает схема демодулятора, показанная на рис. 6.33. Такая схема сложна для реализации, а сам алгоритм чувствителен к . Снятие этой проблемы и упрощение схемы демодулятора возможно при выборе сигналов равных энергий Е₁ = Е₂ = ,,, = Е_m, что обеспечивает равенство h₁ = h₂ = ,,, = h_m. Это позволяет исключить в ветвях демодулятора сумматоры и нелинейные преобразователи со сложной монотонной функциональной характеристикой вида ln[I₀(x)] (рис. 6.34), а алгоритм (6.26) принимает вид

(6.27)

Способ приема сигналов, при котором не используется информация о его фазе, называют некогерентным, как и соответствующие демодуляторы. Его алгоритм был впервые получен Л.М.Финком.

Выше введенная функция V_i, как это следует из выражения (6.25), представляет собой не что иное, как огибающую реакции СФ для соответствующего сигнала s_i(t). Отсюда вытекает возможность реализации оптимального демодулятора, содержащего в каждой своей ветви СФ и детектор огибающей (ДО) (рис. 6.25). Решение о переданном символе принимается по максимум огибающей в моменты kT .

Из выражения (6. 25) очевидно, что максимальная помехоустойчивость некогерентного приема достигается при минимальном (нулевом) значении огибающей V_j (в моменты отсчетов) на выходах ветвей j ≠ i при передаче сигнала s_i(t). Для этого необходимо выбирать сигналы равных энергий, удовлетворяющие требованию ортогональности в усиленном смысле

.

Примеры ортогональных в усиленном смысле сигналов:

1. Сигналы с ЧМ при соответствующем выборе частот

.

2. Сигналы с время-импульсной модуляцией (ВИМ) (рис. 6.36,а)

.

3. Сигналы с ОФМ обладают ортогональностью в усиленном смысле на интервале –Т ÷ Т (рис. 6.36,б). На этом интервале сообщения «0» и «1» передаются сигналами:

Рекомендуется доказать ортогональность этих сигналов самостоятельно.