МАТЕМАТИКА

Вопросы к экзаменам

I семестр.

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Действия с матрицами.

2. Определители квадратных матриц. Определение и вычисление определителей второго и третьего порядков.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Вычисление определителя n–го порядка.

4. Свойства определителей.

5. Обратная матрица Определение и вычисление обратной матрицы.

6. Ранг матрицы. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц. Вычисление ранга матриц.

7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Решение и исследование систем n линейных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера.

8. Произвольные системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Метод Гаусса. Решение и исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли.

9. Определение, простейшие свойства, примеры линейных (векторных) пространств. Основная теорема о линейной зависимости (формулировка). Базис линейного (векторного) пространства.

10. Определение евклидова пространства. Примеры. Простейшие свойства евклидовых пространств. Длина вектора. Неравенство треугольника. Угол между векторами.

11. Геометрические векторы. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов; умножение вектора на действительное число. Свойства операций.

12. Векторное пространство и базис: определения, примеры.

13. Коллинеарные векторы. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Задание множества коллинеарных векторов.

14. Компланарные векторы. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Задание множества компланарных векторов. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

15. Координаты вектора, действия с векторами в координатах.

16. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, формулы для вычисления, геометрический смысл.

17. Вычисление угла между векторами. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.

18. Векторное произведение векторов: определение, свойства, формулы для вычисления, геометрический смысл.

19. Смешанное произведение: определение, свойства, формулы для вычисления, геометрический смысл.

20. Метод координат на плоскости. Основные задачи на метод координат на плоскости (вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении, вычисление площади треугольника по координатам вершин, условие принадлежности трех точек прямой).

21. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, частные случаи.

22. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

23. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

24. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой.

25. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых.

26. Расстояние от точки до прямой.

27. Плоскость. Различные уравнения плоскости. Нормальный вектор плоскости.

28. Нахождение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

29. Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой. Направляющий вектор прямой.

30. Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

31. Прямая и плоскость в пространстве. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

II семестр.

32. Множества, отношения между ними. Способы задания множеств. Основные числовые множества.

33. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера–Венна. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

34. Понятие функции. Основные свойства функции.

35. Элементарные функции. Классификация функций.

36. Предел числовой последовательности.

37. Предел функции на бесконечности и в точке.

38. Бесконечно малые и большие величины функции, их взаимосвязь.

39. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов.

40. Первый замечательный предел.

41. Второй замечательный предел.

42. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

43. Определение производной. Геометрический, физический смыслы производной.

44. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

45. Понятие дифференциала функции, его свойства. Геометрический смысл дифференциала.

46. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Понятие эластичности функции.

47. Применение производной для раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞ (правило Лопиталя).

48. Исследование функции на возрастание и убывание с помощью производной.

49. Экстремум функции.

50. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

51. Выпуклость функции. Точки перегиба.

52. Асимптоты графика функции.

53. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

54. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

55. Метод замены переменной при вычислении интеграла.

56. Метод интегрирования по частям.

57. Интегрирование простейших рациональных дробей.

58. Определенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.

59. Вычисление площадей плоских фигур.

60. Вычисление объемов тел вращения.

61. Комплексные числа. Действия в алгебраической форме.

62. Действия в тригонометрической форме.

63. Формула Муавра. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

64. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

65. Понятие многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера.

66. НОД и НОК. Разложение многочлена на множители.