Основные определения. Основные определения

Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Основные определения

Z -преобразование можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа, а именно как преобразование в пространстве ступенчатых оригиналов. Ступенчатая функция - это разрывная функция целочисленного аргумента, которая в общем случае имеет разрывы при каждом натуральном значении аргумента, оставаясь между ними постоянной.

Рис. 5.22

По рис. 5.22 можно представить такую функцию f(t), для которой f(t)=f(0) при t [0,1), f(t) = f(1) при t [1,2) и т.д. В некоторых источниках z-преобразование называется преобразованием Лорана, так как ряд дает разложение функции в ряд Лорана.

1. Оригинал – последовательность {f(k), k =0,1,...}, удовлетворяющая условию: |f(k)|<Me^σk, где М и σ - положительные постоянные (рис. 5.22).

2. Изображение последовательности {f(k), k =0,1,...} - функция F(z) комплексного переменного z , определяемая равенством:

(5.58)

Изображение является аналитической функцией при |z|>e^σ.

Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений - пространством изображений.

3. Переход, определяющий изображение F(z) по оригиналу {f(k), k =0,1,...}, называется Z –преобразованием:

(5.59)

4. Оригинал по изображению находится с помощью обратного Z-преобразовании по формуле:

(5.60)

где С - контур, внутри которого лежат все особые точки функции F(z).