С точки зрения математики

Рассмотрим вопрос с другой точки зрения. Предположим, что мы имеем линию длиной в два дюйма. Если дюйм является нашей единицей длины, мы можем обозначить эту линию числом 2. Согласно законам геометрии, эта линия получена в результате перемещения точки в определённом направлении; если мы теперь изменим положение линии в направлении, перпендикулярном ей самой, на расстояние в 2 дюйма, тогда посредством этого видения мы получим квадрат, который можно математически обозначать числом 2². Если теперь мы изменим положение этого квадрата под прямым углом к нему самому на расстояние в 2 дюйма, то получим куб, который можно математически представить как 2³. Вот мы имеем три фигуры, образованные соответствующими друг другу движениями. Точка даёт линию, линия — квадрат, квадрат даёт куб; эти три фигуры соответствуют в геометрии математическим числам 2, 2², 2³.

Геометрически мы не можем продолжать эту серию операций, но в математике мы можем возвести число в четвёртую и любую другую степень. И каждое из этих математических выражений могло бы иметь своё представление в реальной пространственной геометрии. Какой была бы тогда форма геометрического тела, соответствующего 2⁴, 2⁵, 2⁶?

Так как это тело мы не можем представить в материи, то должны попытаться сделать это в нашем воображении. Пытаться изучать эту фигуру значит пытаться достичь знания четвертого измерения. Но чтобы понять особенности нашей проблемы, мы должны следовать методу, с помощью которого была получена каждая из уже известных нам фигур.

Нам известно совершенно точно, что поверхность квадрата, сторона которого равна 2, равняется 2², но единица, служащая для измерения квадрата, отлична от единицы, используемой для линии. Мы говорим о линии в 2 дюйма длиной, а когда хотим указать размер квадрата, то умножаем число 2 само на себя. Но вы понимаете, что единица, посредством которой мы выражаем размер квадрата, совсем иная. Это не мера длины в дюймах, а квадратный дюйм, и любое число единиц первой категории никогда не может дать одну единицу второй категории, ибо в определении линии говорится, что она обладает длиной без ширины; следовательно, любое число математических линий никогда бы не могло составить квадрат, так как они не имеют ширины. Очевидно, из этого также следует, что никто никогда не видел настоящую линию, ибо то, что не имеет ширины, для нас невидимо. Поэтому все проводимые нами линии неточны и не выражают математического понятия линии.

То же самое верно для квадрата, который производит куб, смещаясь под прямым углом по отношению к самому себе. Наше определение квадрата различает в нем длину и ширину, но не толщину; поэтому любое число квадратов, наложенных друг на друга, никогда не смогут образовать куб. Если мы хотим измерить куб, мы должны умножить число два раза само на себя, но тогда нужно, чтобы используемая единица принадлежала к новому измерению. Это не может быть ни дюйм, ни квадратный дюйм — нужно, чтобы это был кубический дюйм. Так мы видим, что для каждого нового намерения мы имеем совершенно новую единицу, и что мера, применяющаяся в более высоком измерении, никогда не может выражаться через единицы меры более низкого измерения.

Второй момент, который следует рассмотреть, заключается в том, что когда мы перемещаем одну фигуру, чтобы получить новую, каждая точка первой фигуры должна давать соответствующую ей линию. Когда мы перемещаем линию под прямым углом, чтобы получить квадрат, мы должны предположить, что не только концы её дают новые линии. Каждая точка на всем протяжении этой линии тоже перемещается и посредством этого перемещения проводит новую линию. Точно так же, когда мы посредством перемещения квадрата получаем куб, это не просто перемещаются четыре линии, которые описывают квадрат, но каждая точка на всей поверхности квадрата, принимая участие в образовании куба, должна совершать движение, соответствующее прямому углу с поверхностью упомянутого квадрата. Вспомните, что квадрат не состоит просто исключительно из четырех линий, которые мы проводим, чтобы обозначить его пределы, но что поверхность в целом, заключенная внутри этих линий, есть квадрат. Заметьте еще, что, когда мы поднимаемся до более высокого измерения, нам открыта любая внутренняя точка более низкой фигуры, поскольку мы смотрим на неё таким образом, что ни одна из точек этой фигуры не может закрывать другую.

Когда мы применяем все эти данные к перемещению куба, которое происходит под прямым углом к другим измерениям куба, то какой вид будет у этой фигуры? Первое, что следует понимать, это то, что новая фигура, какой бы она ни была, не может измеряться какой-либо известной нам мерой. Любое число кубов никогда бы не могло составить такую фигуру, поскольку она обладает четвёртым измерением, и сама единица измерения должна быть совершенно иной природы.