Тема 2. Функции Бесселя

Задание 1. Записать общее решение уравнений Бесселя

1.1. ; 1.2. .

Решение. 1.1.Сравнивая данное уравнение со второй из формул (2.1), видим, что — целое число. Поэтому общее решение рассматриваемого уравнения может быть записано по формуле (2.3) (или (2.4)), т.е.

.

1.2.В этом уравнении — нецелое число. Общее решение уравнения даётся формулой (2.2) или (2.4), т.е.

или .

Задание 2. Записать уравнение, решениями которого были бы данные цилиндрические функции

2.1. , ; 2.2. , .

Решение. 2.1. При линейно независимые функции , являются решениями уравнения Бесселя

.

2.2. Здесь — нецелое число, поэтому функции Бесселя , — линейно независимы. Уравнение Бесселя имеет вид

.

Задание 3.Дана функция . Выразить через элементарные функции.

3.1. ; 3.2. ; 3.3. .

Решение. 3.1. Запишем рекуррентную формулу (2.11) при :

,

отсюда следует

Выражение функции даётся первой из формул (2.5), поэтому

.

3.2. Используем формулу (2.11) при :

,

отсюда

.

Ещё раз применим рекуррентную формулу (2.11) при :

,

откуда

.

Подставляя найденное выражение для в формулу для , получим

,

или, учитывая представления для функций и по формулам (2.5)

.

3.3. Используем формулу (2.6) при , чтобы найти

В п. 3.2 было найдено выражение для функции Бесселя :

.

Таким образом, окончательно получаем

.

Задание 4. Вычислить интегралы

4.1. ; 4.2. .

Решение. 4.1.Интеграл будем брать по частям, полагая при этом

, ; .

Записывая рекуррентную формулу (2.9) при

,

и сравнивая её с выражением для , видим, что .

Искомый интеграл равен

.

Формула (2.9) при даёт

,

откуда

.

4.2. Применим к интегралу формулу интегрирования по частям, в которой

, ; .

Формула (2.13), записанная при , имеет вид

,

значит, .

.

Формула (2.13) при записывается так

,

а искомый интеграл равен

.

Задание 5.Выразить суммы рядов через функцию Бесселя первого рода .

5.1. ; 5.2. .

Решение. 5.1.Представим в виде

и сравним её с формулой (2.7) — разложением функции в ряд. Видим, что , . Таким образом, .

5.2. Заменим в формуле для индекс на по формуле , и перепишем ряд таким образом

.

Сравнивая выражение для с формулой (2.7), взятой при , , замечаем, что .

Задание 6(выполняется средствами Maple). Дана функция Бесселя целого порядка . На одном рисунке построить график функции (сплошная линия) на отрезке и графики конечных сумм ряда для при (пунктирные линии на базе различных фигур).

6.1. , , , , .

6.2. , , , , .