Интерполяция кубическими сплайнами. Сплайном порядка m степени n на отрезке [a,b] называют функцию , которая на каждом частичном отрезке разбиения совпадает с некоторым многочленом степени не

Сплайном порядка m степени n на отрезке [a,b] называют функцию , которая на каждом частичном отрезке разбиения совпадает с некоторым многочленом степени не выше n

.

При этом, если в точках значения сплайна совпадает со значением , то сплайн называют интерполяционным сплайном для .

Сплайн второго порядка третьей степени называют кубическим сплайном. В качестве параметра кубического сплайна выбирают вторые производные сплайна в узлах и обозначают эти величины через . Тогда на каждом частичном отрезке разбиения функция имеет вид:

Для нахождения коэффициентов составляют систему:

Эта система из N-1 уравнения с N+1 неизвестными, поэтому следует задать два дополнительных условия.

Простейший способ замкнуть систему – задать значения . Такой кубический сплайн называют кубическим сплайном с начальными условиями. Алгоритм решения сводится к вычислению значений по рекуррентной формуле: .

Также можно замкнуть систему – задать значения . Если за оба эти значения принимают нулевые значения, то сплайн называют естественным.

Данная система будет иметь 3х-диагональную матрицу. Для решения таких систем часто применяют метод прогонки. Прямой ход метода сводится к вычислению прогоночных коэффициентов по рекуррентным формулам: ; .

Обратный ход метода - к вычислению по формулам:

.