Сплайны. Пусть на отрезке задана сетка точек , которая делит на n отрезков , . Сплайном n-го порядка называется функция

Интерполирование сплайнами

при , , (1)

где - алгебраические многочлены, степень каждого из которых не превышает k,а коэффициенты которых, , подобраны так, что функция имеет на отрезке непрерывные производные до -го порядка включительно.

График сплайна состоит из отдельных кусков – графиков многочленов , . По определению сплайна эти куски должны быть хорошо состыкованы при , чтобы в результате они составили кривую (график функции ), имеющую степень гладкости (рис. 1).

Сплайны используются для разных целей. Мы рассмотрим их использование для решения задачи интерполяции.

Построение кубического интерполяционного сплайна.Рассмотрим построение интерполяционного сплайна третьего порядка. Пусть на отрезке определена некоторая функция и задана сетка узлов интерполяции , которая делит отрезок на n отрезков , . Значения функции в этих узлах известны. Будем искать интерполяционную функцию в виде сплайна третьей степени, который мы будем представлять в виде

Рис 1

при , . (2)

Значения постоянных , , , будем подбирать исходя из условий интерполяции и требования непрерывности сплайна вместе со своими производными первого и второго порядка наотрезке .

Условия интерполяции и непрерывности сплайна во внутренних узлах интерполяции сводятся к требованиям

, . (3)

, . (4)

Условия непрерывности первой и второй производной сплайна во внутренних узлах интерполяции имеют вид

, . (5)

, . (6)

Таким образом, мы получили систему уравнений (3) - (6) с неизвестными , , , . Она имеет множество решений. Для выделения единственного решения этой системы необходимо добавить к ней еще два уравнения. Чаще всего для этой цели используют дополнительные требования

. (7)

Введем обозначения , и подставив выражение (2) в систему (3) - (7), получим

, . (8)

, . (9)

, . (10)

, . (11)

, . (12)

Коэффициенты непосредственно находятся из равенства (8). Подставив эти выражения в равенство (9) получим

, .

Выразим отсюда коэффициенты

, . (13)

Подставим выражения (13) в равенство (10) и, после несложных преобразований, получим

,

. (14)

Выразим из уравнения (11) коэффициенты :

, , (15)

а коэффициент выразим из уравнения (12):

. (16)

Введем фиктивную переменную и положим

. (17)

Теперь равенства (15) и (16) можно будет записать одной формулой (15) для всех . Подставим значения из равенства (15) в уравнение (14) и после преобразований, получим

,

. (18)

Из равенств (12) следует, что

. (19)

Подставим это равенство в первое уравнение (17) (при ):

. (20)

Запишем уравнения (17) при , сделав предварительно сдвиг индекса :

,

. (21)

Подставим равенство (16) в последнее уравнение (17) (при )

. (22)

Таким образом, для вычисления значений коэффициентов мы получили линейную систему с трехдиагональной матрицей (19) - (21), которую можно решить методом прогонки. Достаточные условия применимости метода прогонки для этой системы выполняются при условиях

, , (23)

. (24)

Они будут выполняться, в частности, и в случае, когда сетка узлов интерполяции является равномерной (при =const). Решив описанную систему методом прогонки, можно вычислить . Далее остальные коэффициенты находятся по формулам (17), (19), (15), (16), (13), (8).