КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интерполяция кубическим сплайном ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Пусть на интервале задана непрерывная функция . Введем и обозначим , . Сплайном, соответствующим функции и узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям: 1) на каждом сегменте , функция является многочленом третьей степени; 2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на (условия непрерывности); 3) (условия интерполирования). Построение сплайна (алгоритм интерполирования):
В отличие от интерполяции Лагранжа, когда вся функция аппроксимируется одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале На каждом отрезке будем искать функцию в виде многочлена (3.4.1): (3.4.1) где - коэффициенты, подлежащие определению. Коэффициент Коэффициент , так как . Коэффициент , так как . Коэффициент , так как . Найдем коэффициенты из условий, которым должен удовлетворять сплайн: 1) Условия интерполирования: при этом и условия непрерывности функции: для каждого приводят к уравнению (3.4.2): (3.4.2) Обозначим , перепишем уравнениям (3.4.2) в виде (3.4.3) (3.4.3) 2) Условия непрерывности первой производной для каждого приводят к уравнениям (3.4.4) (3.4.4) 3) Условия непрерывности второй производной для каждого приводят к уравнениям (3.4.5): (3.4.5) Объединяя уравнения (3.4.3), (3.4.4), (3.4.5) получим систему уравнений относительно неизвестных . Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Например, что функция удовлетворяет условиям . Тогда из этого условия получаем недостающие уравнения (3.4.6): и (3.4.6) Таким образом, получаем замкнутую систему, разрешив которую относительно коэффициентов кубического сплайна получим эти коэффициенты. Для решения данной системы хорошо применим метод прогонки. Алгоритм данного метода приведен в Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран, паскаль, 1991 г.
|