Основы булевой алгебры

Логические элементы

Цель работы:а) применение булевой алгебры логики;

б) исследование функционирования основных логических элементов.

1. Теоретические основы лабораторной работы

Элементной базой современных цифровых устройств и систем являются цифровые интегральные схемы. Цифровая интегральная схема (ИС) – это микроэлектронное изделие, изготовленное методами интегральной технологии (чаще полупроводниковой), заключенное в самостоятельный корпус и выполняющее определенную функцию преобразования дискретных (цифровых) сигналов. Номенклатура выпускаемых промышленностью цифровых ИС достаточно обширна и, следовательно, весьма разнообразны реализуемые ими функции преобразования. Простейшие преобразования над цифровыми сигналами осуществляют цифровые ИС, получившие названия логических элементов (ЛЭ).

Для описания работы цифровых ИС, а следовательно и устройств, построенных на их основе, используется математический аппарат алгебры логики или булевой алгебры. Возможность применения булевой алгебры для решения задач анализа и синтеза цифровых устройств обусловлена аналогией понятий и категорий этой алгебры и двоичной системы счисления, которая положена в основу представления преобразуемых устройством сигналов.

Основы булевой алгебры

Основными понятиями булевой алгебры являются понятия логической переменной и логической функции.

Логической переменной называется величина, которая может принимать одно из двух возможных состояний (значений), одно из которых обозначается символом “0”, другое – “1” (для обозначения состояний возможно применение и других символов, например, “Да” и “Нет” и др.). Сами двоичные переменные чаще обозначают символами х₁, х₂,… В силу определения логические переменные можно называть также двоичными переменными.

Логической (булевой) функцией (обычное обозначение – у) называется функция двоичных переменных (аргументов), которая также может принимать одно из двух возможных состояний (значений): “0” или “1”. Значение некоторой логической функции n переменных определяется или задается для каждого набора (сочетания) двоичных переменных. Количество возможных различных наборов, которые могут быть составлены из n аргументов, очевидно, равно . При этом, поскольку сама функция на каждом наборе может принимать значение “0” или “1”, то общее число возможных функций от n переменных равно .

Таким образом, множество состояний (значений), которые могут принимать как аргументы, так и функции, равно двум. Для этих состояний в булевой алгебре определяются отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства (=) и три операции: а) логического сложения (дизъюнкции), б) логического умножения (конъюнкции), в) логического отрицания (инверсии), обозначаемые соответственно символами:

+ или - операция дизъюнкции,

или или & - операция конъюнкции,

- операция инверсии (* - символ аргумента или функции).

Постулативно полагается, что при выполнении перечисленных операций отношения эквивалентности имеют вид:

а) 0 + 0 = 0, б) 0 × 0 = 0, в) = 1,

0 + 1 = 1, 0 × 1 = 0, = 0.

1 + 0 = 1, 1 × 0 = 0,

1 + 1 = 1; 1 × 1 = 1;

На основании постулатов (1) можно вывести следующие соотношения (законы) алгебры логики:

1. Законы одинарных элементов (универсального множества – а), нулевого множества – б), тавтологии – в)):

а) х + 1 = 1, б) х + 0 = х, в) х + х = х,

х × 1 = х; х × 0 = 0; х × х = х.

2. Законы отрицания (двойного отрицания – а), дополнительно

сти – б), двойственности – в)):

а) б) в)

; .

3. Законы абсорбции или поглощения – а) и склеивания – б):

а) б)

Законы двойственности (3, в), называемые также законами деМоргана, были обобщены К. Шенноном на случай произвольного (n) числа аргументов.

Кроме законов, перечисленных выше и не имеющих аналогов в обычной алгебре (алгебре чисел), для алгебры логики справедливы законы обычной алгебры: коммутативные или переместительные, дистрибутивные или распределительные, ассоциативные или сочетательные.

Любая логическая функция у n двоичных переменных может быть задана таблично. Такие таблицы, получившие название таблиц истинности, содержат строк, в которые записываются все возможные двоичные наборы значений аргументов, а также соответствующее каждому из этих наборов значение функции.

Пример 1. Составить таблицу истинности логической функции у равнозначности (эквивалентности) трех двоичных переменных , т.е. функции, которая принимает единичное значение только при совпадении всех трех аргументов, ее образующих.

Решение. Сначала выпишем все возможные наборы (комбинации) трех переменных . Таких наборов, очевидно, 8. Чтобы не ошибиться при перечислении наборов аргументов, нужно сразу приучиться перечислять их единообразно – в виде возрастающей последовательности чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для рассматриваемого примера наборы трех переменных нужно перечислить в следующем порядке: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – итого восемь двоичных чисел – от 0 до 7.

Далее для каждого набора двоичных переменных определим, исходя из смысла ситуации, соответствующее значение функции. В результате получаем таблицу истинности логической функции "равнозначность трех двоичных переменных" (табл. 1).

Задание логической функции таблицей истинности не всегда удобно. При большом числе двоичных переменных (n ³ 6) табличный способ задания функции становится громоздким и теряет наглядность. Возможен и аналитический способ задания логических функций, который предусматривает запись функции в форме логического выражения, устанавливающего, какие логические операции над аргументами функции должны выполняться и в какой последовательности.

Алгебра логики предполагает возможность образования сложных функций, т.е. функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Например, если , а и , очевидно, что . Операция замены аргументов одной функции другими функциями называется суперпозицией функций. Эта операция дает возможность выразить сложную логическую функцию через более простые (элементарные).

Приведем описание некоторых, имеющих большое значение в цифровой технике, элементарных логических функций и ЛЭ, реализующих эти функции.

Функция “отрицание” – это функция одного аргумента (другие названия функции: инверсия, логическая связь НЕ). Аналитическая форма задания этой функции:

где - логическая функция, - аргумент.

Электронный ЛЭ, реализующий функцию “Отрицание” в виде определенных уровней электрических сигналов, называют инвертором или ЛЭ “НЕ”. Инвертор на схемах изображается, как показано на рис. 1, а. Вход ЛЭ слева, выход – справа. На выходной линии, в месте соединения ее с прямоугольником, изображается кружок – символ инверсии. На языке цифровой техники инверсия означает, что выходной сигнал (у) противоположен входному (х). Сказанное иллюстрирует рис. 1, б, на котором приведены временные диаграммы инвертора.

Функция “конъюнкция” – это функция двух или большего числа аргументов (другие названия функции: логическое умножение, логическая связь И). Аналитическая форма задания функции двух аргумент и :

или или .

Функция “конъюнкция” равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1. ЛЭ, реализующий функцию “Конъюнкция” называют конъюнктором или ЛЭ “И”. На рис. 2 приведены: условное графическое изображение двухвходового (а) и трехвходового (б) конъюнкторов; временные диаграммы (в) и таблица истинности (г) двухвходового конъюнктора.

ЛЭ “И” часто используют для управления потоком информации. При этом на один из его входов поступают сигналы, несущие некоторую информацию, а на другой – управляющий сигнал: пропустить информацию – 1, не пропустить – 0. ЛЭ “И”, используемый таким образом, называют вентиль.

Функция “дизъюнкция” – это функция двух или большего числа аргументов (другие названия функции: логическое сложение, логическая связь ИЛИ). Функция равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1 (рис. 2, в). Обозначение функции “Дизъюнкция”:

или .

ЛЭ, реализующий функцию “дизъюнкция”, называют дизъюнктором или ЛЭ “ИЛИ”. Условное изображение и временные диаграммы ЛЭ “ИЛИ” приведены на рис. 3.

Функция “штрих Шеффера” (другое название функции – логическая связь “И-НЕ”) – это функция двух или большего числа аргументов. Таблица истинности функции “И-НЕ” представлена на рис. 4, б. Легко видеть, что это инверсия функции “И”, т.е. отрицание конъюнкции. Функция равна 1, если равен 0 хотя бы один из ее аргументов, функция равна 0 при равенстве всех аргументов 1.

Обозначение функции “И-НЕ”: .

Условное изображение ЛЭ, реализующего функцию “штрих Шеффера”, приведено на рис. 4, а.

Используя только ЛЭ “И-НЕ”, можно реализовать любую из вышерассмотренных логических функций (НЕ, И, ИЛИ), как показано на рис. 5, а-в.

Функция “стрелка Пирса” – это функция двух или большего числа аргументов (другое название функции – логическая связь “ИЛИ-НЕ”). Данная функция является инверсией функции “ИЛИ”, значения функции представлены на рис. 6, б, в формулах обозначается как . Условное изображение ЛЭ, реализующего функцию “ИЛИ-НЕ” приведено на рис. 6, а.

ЛЭ “ИЛИ-НЕ” также, как и ЛЭ “И-НЕ” позволяет реализовывать логические функции НЕ, ИЛИ, И. Отмеченное иллюстрирует рис. 7.

Функция “сумма по модулю 2”(М2) – это функция двух или большего числа аргументов. Обозначение в формулах: (в случае функции двух аргументов и ). Таблица истинности функции представлена на рис. 8, а. На рис. 8, б приведено условное графическое изображение двухвходового ЛЭ, реализующего эту функцию. Название функции связано с тем, что есть арифметическая сумма двоичных чисел и в пределах одного разряда: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10. В последнем случае возникает единица переноса в соседний старший разряд, а в разряде самих слагаемых получается ноль. Отсюда широкое применение этого ЛЭ при построении суммирующих устройств.

Функция М2 обладает интересным свойством, которое полезно запомнить: при инвертировании одного из аргументов вся функция инвертируется, т.е. .

Инверсия суммы по модулю 2 для двух аргументов имеет и собственный смысл: это функция равнозначности ; она равна единице, если . Следовательно, для построения схем сравнения одноразрядных чисел достаточно проинвертировать один из аргументов или результат.

Полезно запомнить также следующие очевидные соотношения:

Первые два равенства позволяют применять ЛЭ М2 в качестве управляемого инвертора. Если использовать один из входов М2 как управляющий и подавать на него уровень логического 0 или 1, то информация, поступающая по второму входу, будет пропускаться на выход без изменения или инвертироваться.

В случае двух аргументов функцию М2 называют также функция неравнозначности, исключающее ИЛИ, поскольку полностью совпадают таблицы истинности этих функций. Если же функция М2 трех или большего числа аргументов, то применение названий “неравнозначность”, “исключающее ИЛИ” не правомерно. Последнее следует из сопоставления таблиц истинности этих функций (табл. 2), из которой следует, что это совершенно различные функции.

Таблица 2

Аргументы	Функции
	М2=	Неравнозначность	Исключающее ИЛИ (один и только один)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Стандартные ИС ЛЭ И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ имеют 2, 3, 4 или 8 входов. Число аргументов, входящих в конъюнкцию (дизъюнкцию) или ее инверсию может отличаться от числа входов ЛЭ. Типовыми ситуациями являются наличие у имеющегося ЛЭ “лишних” (неиспользуемых) в данном случае входов или, напротив, нехватка у имеющегося ЛЭ необходимого числа входов. Например, нужно получить конъюнкцию (дизъюнкцию) или ее инверсию пяти переменных. В сериях ИС нет ЛЭ с пятью входами и придется взять элемент с восмью входами, у которого окажется три “лишних” входа (рис. 9, а). Принципиально возможно поступить следующим образом: “лишние” входы подсоединить к задействованным (рис. 9, б) или подать на них некоторые константы (логические “1” или “0”), не изменяющие логику работы ЛЭ (рис. 9, в).

Рис.

В других случаях число входов ЛЭ меньше числа аргументов конъюнкции (дизъюнкции) или ее инверсии. Для ЛЭ И и ИЛИ решение задачи не представляет трудностей – для получения нужного числа входов берется несколько ЛЭ, выходы которых объединяются далее элементом того же типа (рис. 10, а). На этом рисунке звездочка обозначает операцию конъюнкцию или дизъюнкцию.

2. Задание на лабораторную работу

2.1. Для ЛЭ, соответствующих вашему варианту (табл. 3):

2.1.1. Заполнить таблицу истинности;

2.1.2. Записать логические выражения, реализуемые ЛЭ;

2.1.3. Изобразить ЛЭ, реализующие функции.

Таблица 3

2.2. Реализовать логическую функцию, соответствующую вашему варианту, используя заданный тип ЛЭ (табл. 4). Записать таблицу истинности ЛЭ и схему соединения ЛЭ (схемы), реализующих требуемую функцию.

Таблица 4

№ бригады (варианта)	Функция, подлежащая реализации	Тип используемых ЛЭ
	а)	4И-НЕ
б)	2ИЛИ
	а)	4И-НЕ
б)	2ИЛИ-НЕ
	а)	2И-НЕ
а)	4ИЛИ

3. Контрольные вопросы

1. Объясните, как на УЛС можно проверить исправность соединительных проводников (отсутствие обрывов)?

2. Что такое таблица истинности ЛЭ или устройства, осуществляющего некоторое логическое преобразование?

3. Укажите размерность таблицы истинности (число строк и число столбцов) ЛЭ: 4И и 2 ИЛИ.

4. Объясните, почему неиспользуемые входы ЛЭ “ИЛИ”, “ИЛИ-НЕ” соединяют с корпусом (уровнем логического “0”), а на неиспользуемые входы ЛЭ “И”, “И-НЕ” подается напряжение уровня логической “1”?

5. ЛЭ каких типов соответствуют приведенным таблицам истинности?

а) б)

6. Используя ЛЭ наборного поля получите три различных варианта схем, реализующих логическую функцию “5И-НЕ”. Который из них является наиболее оптимальным (рациональным)?

7. Какую логическую функцию реализует цепочка из К последовательно соединенных инверторов, если К – нечетное число, К – четное число? Чему эквивалентны такие цепочки?

8. Изобразите временные диаграммы, характеризующие функционирование ЛЭ: НЕ, 3И, 3ИЛИ, 3И-НЕ, 3М2.