Галилео Галилей. Формирование классической механики

Пиама Гайденко

ИСТОРИЯ НОВОЕВРОПЕЙСКОЙ ФИЛОСОФИИ В ЕЕ СВЯЗИ С НАУКОЙ

Глава вторая

Галилео Галилей. Формирование классической механики

В течение довольно долгого времени, особенно под влиянием позитивистского понимания истории науки, господствовало представление о Галилее как об ученом, который полностью пересмотрел все традиционные представления о науке, ее методах и задачах, какие были до него, и на расчищенном таким образом, как бы пустом месте стал строить совершенно новое здание науки - науки современной. Хотя Галилей действительно сделал больше других в деле разрушения старого и создания нового понятия науки, тем не менее это не означает, что он не опирался на определенную традицию, на те достижения, которые составили предпосылки его собственной работы. Работы историков науки XX столетия позволили увидеть более объективную картину генезиса науки нового времени и роли Галилея в этом генезисе.

Сам Галилей называет несколько важнейших имен, традиции которых он продолжает: критикуя Аристотеля, Галилей нередко апеллирует к Платону, а еще чаще к Архимеду, чьи сочинения действительно оказали решающее влияние на творчество Галилея. Из более близких по времени Галилей чаще всего ссылается на Коперника, и неудивительно: обоснование гелиоцентрической системы последнего, создание физики, которая согласовалась бы с этой системой, стали делом жизни Галилея. Обращение к Копернику, к Архимеду и античной математике, а также к Платону как представителю античной математической программы лежит, так сказать, на поверхности (хотя, как мы далее увидим, даже "лежащее на поверхности" не следует всегда принимать как само собой разумеющееся: таков, в частности, "платонизм" Галилея). Но были и такие источники мысли Галилея, которые надо было реконструировать, поскольку о них не идет речь в текстах итальянского ученого, между тем они сыграли важную роль в становлении как мышления Галилея, так и вообще науки нового времени. В плане философском сюда следует отнести принцип совпадения противоположностей Николай Кузанского, в плане собственно физическом - теорию импульса (импетуса), восходящую к средневековой науке XIV в., а в плане изучения движения с точки зрения его величины - прежде всего вывода закона падения тел - средневековую теорию интенсии и ремиссии форм. Эта теория была создана в XIV в. учеными-математиками сначала в Оксфорде (Томас Брадвардин, Уильям Хейтсбери, Ричард Суисет, названный Калькулятором, и Джон Дамблтон), а затем развивалась и уточнялась в Париже, где над ней работали Жан Буридан, Альберт Саксонский, Марсилий Ингенский и особенно Николай Орем.

Разумеется, все эти влияния были переплавлены Галилеем в некоторое - хотя и не лишенное известных противоречий - целое. Так, например, только опираясь на метод Архимеда, создавшего теорию о равновесии как геометрическую, а не физическую науку, Галилей пришел к мысли о преобразовании физического явления, а именно ускоренного движения падающих тел, в математический объект, свойства которого можно изучать с помощью геометрии. Тем самым теория широты качеств оказалась плодотворной при изучении интенсивности движения (т.е. скорости); с помощью нового подхода Галилей преобразовал и эту теорию.

Для того чтобы понять, каким образом рождалось новое понимание науки о природе, интересно проследить, как творчество Галилея соотносится с предшествующим периодом в развитии естествознания. Рассмотренная таким образом физика Галилея оказывается отличной как от средневековой физики, так и от классической механики в ее зрелой форме: она несет в себе черты переходного явления. Но именно это и позволяет разглядеть важнейшие моменты становления науки нового времени.

1. Бесконечное и неделимое. Галилей и Николай Кузанский

В подготовке почвы под фундамент новой науки Галилей опирается на принцип совпадения противоположностей, введенный Николаем Кузанским и разработанный далее Джордано Бруно, и применяет этот принцип при решении проблемы бесконечного и неделимого. Необходимость обратиться к этим фундаментальным понятиям научного и философского мышления вызвана задачей, которую ставит перед собой Галилей, а именно пересмотреть теоретические предпосылки физики и философии Аристотеля. Отвергнув динамику Аристотеля, которая была общей теорией изменения, Галилей ограничил динамику только теорией перемещения.

Но революция в мышлении, произведенная Галилео Галилеем, касается не только перипатетической физики; критика Аристотеля лежит, так сказать, на поверхности во всех сочинениях Галилея, ее нельзя не заметить с первого же взгляда. Еще в конце XIX-начале XX в. было распространено представление, что Галилей в своем отталкивании от Аристотеля и средневековой физики опирается на традицию платонизма и строит свою научную теорию на основе методологических принципов научной программы Платона и пифагорейцев. Особенно много труда на обоснование этой точки зрения было приложено неокантианцами Марбургской школы, в частности П. Наторпом и Э. Кассирером. В пользу этой точки зрения действительно говорит тот факт, что Галилей считает "книгу природы" написанной на языке математики, а потому видит в математике единственно надежный инструмент для построения научной системы физики. В этом, безусловно, сказывается сходство воззрений Галилея и Платона. Однако философско-теоретическое обоснование математики, так же как и ее содержательная интерпретация, у этих двух мыслителей различны. Неокантианцы потому только не уделяли должного внимания этому различию, что - под влиянием того же Галилея и всей опирающейся на него новой науки - дали самому Платону и его научной программе не совсем адекватное истолкование, модернизировав греческого философа и представив его как прямого предшественника Галилея и Канта. В результате такого прочтения Платона для Наторпа и Кассирeра оказались в тени также и те моменты в понимании науки, которые связывали Платона с Аристотелем. Происходит смещение реального положения вещей: Галилей становится слишком "платонизированным", а Аристотель превращается в плоского формального логика, не знающего иных методов, кроме силлогизма, и примитивного эмпирика, каким он в действительности никогда не был.

Различия между Галилеем и платоновско-пифагорейской научной программой проходят по той же линии, по какой было намечено различие между Николаем Кузанским, с одной стороны, и Платоном и неоплатониками - с другой. Как и Кузанец, Галилей критикует Аристотеля и уважительно отзывается о Платоне; но, подобно Кузанцу, он в ряде принципиальных вопросов решительно отходит от Платона, и отходит как раз в том направлении, которое было указано Николаем Кузанским. Это легче всего увидеть при рассмотрении проблем бесконечного и неделимого, как они решаются Галилеем.

В "Беседах и математических доказательствах", касаясь вопроса о причинах связности тел, Галилей высказывает несколько гипотетических положений о строении материи и в этой связи оказывается вынужденным поставить проблему континуума. "По моему мнению, - говорит Сальвиати, представляющий взгляды самого Галилея, - связность эта может быть сведена к двум основаниям: одно - это пресловутая боязнь пустоты у природы; в качестве другого (не считая достаточной боязнь пустоты) приходится допустить что-либо связующее, вроде клея, что плотно соединяет частицы, из которых составлено тело". При последующем обсуждении оказывается, что вторую причину нет надобности и допускать, поскольку для объяснения сцепления тел вполне достаточно первой причины. "...Так как каждое действие должно иметь только одну истинную и ясную причину, я же не нахожу другого связующего средства, то не удовлетвориться ли нам одной действующей причиной - пустотою, признав ее достаточность?"

Обсуждение природы пустоты и возможности ее присутствия в телах в виде своего рода пор ("мельчайших пустот") приводит Галилея к той проблеме, которая на протяжении средних веков, как правило, была связана с гипотезой о существовании пустоты, а именно к проблеме непрерывности. Ведь допущение пустот в виде мельчайших промежутков между частями тела требует обсудить вопрос о том, что такое само тело: есть ли оно нечто непрерывное или же состоит из мельчайших "неделимых" и каково, далее, число этих последних - конечное или бесконечное?

Вопросы эти широко дискутировались в XIII и особенно в XIV в., и в этом смысле Галилей еще не выходит за рамки средневековой науки в своей постановке этих вопросов. Но вот в решении их Галилей выступает отнюдь не как средневековый ученый. Он допускает существование "мельчайших пустот" в телах, которые и оказываются источником силы сцепления в них. Обратим внимание на интересное отличие Галилея от античных атомистов: у последних пустоты, поры в телах выступали как причина их разрушаемости, почему и надо было Демокриту предположить, что неразделимость атома обусловлена отсутствием в нем пустоты, которая разделяла бы его на части. У Галилея же, напротив, пустота выступает как сила сцепления. О силе пустоты Галилей вслед за средневековыми физиками рассуждает в понятиях Аристотеля, а не атомистов: по Аристотелю, природа "боится пустоты", чем Аристотель и объясняет целый ряд физических явлений, в том числе движение жидкости в сообщающихся сосудах и т.д. К таким же объяснениям прибегали некоторые средневековые физики. Их принимает и Галилей, когда пишет: "Если мы возьмем цилиндр воды и обнаружим в нем сопротивление его частиц разделению, то оно не может происходить от иной причины, кроме стремления не допустить образования пустоты".

Возможность наличия мельчайших пустот в телах Галилей доказывает сначала с помощью физического аргумента, а затем в подкрепление его обращается к аргументу философскому, а именно к вопросу о структуре континуума. К этому переходу побуждает Галилея естественный вопрос: как можно объяснить огромную силу сопротивления некоторых материалов разрыву или деформации с помощью ссылок на "мельчайшие пустоты"? Ведь, будучи мельчайшими, эти пустоты, надо полагать, дают и ничтожную величину сопротивления. Чтобы разрешить возникшее затруднение, Галилей прибегает к допущению, сыгравшему кардинальную роль в становлении науки нового времени. Он заявляет, что "хотя эти пустоты имеют ничтожную величину (заметим, что величину, хоть и ничтожную, они все же имеют. - П.Г.) и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчерпаемость их количества неисчислимо увеличивает сопротивляемость". Неисчислимость количества ничтожно малых пустот - это в сущности бесконечное множество бесконечно малых, можно сказать, пустот, а можно сказать, сил сопротивления. Потом окажется, что этот метод суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых - неважно чего: моментов времени, частей пространства, моментов движения и т.д. - является универсальным и необычайно плодотворным инструментом мышления.

Чтобы понять, какую революционизирующую роль сыграл этот предложенный Галилеем метод суммирования, сравним между собой античное и средневековое понимание суммирования частей - пусть даже очень малых, но конечных - с предложенным Галилеем способом суммирования бесконечно малых "частей". В "Беседах" прежний метод излагает Сагредо, собеседник Сальвиати: "...если сопротивление не бесконечно велико, то оно может быть преодолено множеством весьма малых сил, так что большое количество муравьев могло бы вытащить на землю судно, нагруженное зерном: в самом деле, мы ежедневно наблюдаем, как муравей тащит зерно, а так как зерен в судне не бесконечное множество, но некоторое ограниченное число, то, увеличив это число даже в четыре или в шесть раз, мы все же найдем, что соответственно большое количество муравьев, принявшись за работу, может вытащить на землю и зерно, и корабль. Конечно, для того, чтобы это было возможно, необходимо, чтобы и число их было велико; мне кажется, что именно так обстоит дело и с пустотами, держащими связанными частицы металла.

Сальвиати. Но если бы понадобилось, чтобы число их было бесконечным, то сочли бы вы это невозможным?

Сагредо. Нет, не счел бы, если бы масса металла была бесконечной; в противном случае...".

Ясно, что хотел сказать Сагредо: в противном случае мы окажемся перед парадоксом, восходящим еще к Зенону: как бы малы ни были составляющие элементы, но если они имеют конечную величину, то бесконечное их число в сумме даст и бесконечную же величину - неважно, идет ли речь о массе металла, длине линии или величине скорости. На этом принципе стоит как математика греков, так и их физика: ни та, ни другая не имеют дела с актуальными бесконечностями - будь то бесконечно большие величины или же бесконечно малые. Приведенный Сагредо пример с муравьями - лишь специальная формулировка той самой аксиомы непрерывности Архимеда или аксиомы Евдокса, которая устанавливает, какого рода величины могут находиться между собой в отношении и что это значит - находиться в отношении.

Именно эту аксиому хочет оспорить Галилей. Вот что отвечает Сальвиати -Галилей задумавшемуся Сагредо: "В противном случае - что же? Раз мы уже дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли каким-либо образом доказать, что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать бесконечное множество пустот". Как видим, Галилей хочет доказать, что конечная величина может представлять собой сумму бесконечного числа - нельзя сказать, что величин, скажем пока - элементов, в данном случае - "пустот". В доказательство своего парадоксального утверждения Галилей обращается к знаменитому "колесу Аристотеля" - задаче, которой много занимались средневековые ученые и суть которой сформулирована в работе псевдо-Аристотеля "Механические проблемы". В средневековой механике эта задача формулируется в виде вопроса, почему при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит такое же расстояние, как и меньший, в то время как при независимом движении этих двух кругов пройденные ими расстояния относились бы как их радиусы. Галилей решает парадокс "аристотелева колеса" совсем не так, как это делал автор "Механических проблем".

Чтобы решить задачу о качении концентрических кругов, Галилей начинает с допущения, которое ему позволяет сделать затем "предельный переход", играющий принципиально важную роль в его доказательстве: он рассматривает сначала качение равносторонних и равноугольных концентрических многоугольников. При качении большего многоугольника должен двигаться также и вписанный в него меньший; при этом, как доказывает Галилей, меньший многоугольник пройдет пространство, почти равное пройденному большим, "если включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами, не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего многоугольника". При качении меньшего многоугольника, как показывает Галилей, происходят "скачки", как бы "пустые промежутки", число которых будет равно числу сторон обоих многоугольников. При возрастании числа сторон многоугольников размеры пустых промежутков уменьшаются пропорционально увеличению числа сторон. Однако пока многоугольник остается самим собой, то, как бы ни возрастало число его сторон, они остаются все же конечной величиной, а потому и число пустых промежутков будет как угодно большим, но конечным числом.

Но если мы рассмотрим случай предельного перехода, когда многоугольник превращается в круг, то дело существенно меняется. "...Как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, то есть отложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением такого же числа, то есть ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большого круга, приблизительно равна по длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае часть их занята, а часть пуста".

Здесь Галилей делает одно допущение, на котором уже и держится все последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы - и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать, как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть, как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.

Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии "пустых точек", которые представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и философия в той же мере, в какой и математика Евклида.

Насколько эта противоположность была принципиальна также и для средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).

Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед научным мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но, представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот".

Таким путем вводит Галилей чрезвычайно важное для науки XVII-XVIII вв. понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей. Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.

Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли, с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки", "неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто "неделимые", или "атомы".

Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые "математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств - обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили, вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.

Получив понятие "неделимое" в рамках математического рассуждения, Галилей, однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике, более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, - относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела, которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие, то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо, например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото состоит из бесконечно многих неделимых".

Не удивительно, что понятие "неделимое", или "бесконечно малое", на протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных, ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное - лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум оперировать этим понятием не в состоянии.

Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая Кузанского.

"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на "абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.

Что отождествление Галилеем "бесконечного" и "неделимого" восходит к совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного. Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты. Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел".

В результате этого рассуждения Галилей делает неожиданный вывод: "...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел вообще".

Это доказательство Галилея, где наиболее наглядно видна глубокая связь его со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой "совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс. Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ беспредельного).

У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример, приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает положения теории множеств Георга Кантора.

Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим, отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".

Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что "не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной род, изменение сущности, а не количества.

Попутно мы можем видеть, почему античная наука, понятия которой были теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике), не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его, тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.

Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен: поскольку в любом конечном отрезке, как бы мал он ни был, лишенных величины точек обязательно будет бесконечное число, то на этом основании он должен быть так же точно причислен к бесконечному, как и бесконечная линия. Вот почему Сальвиати соглашается с Сагредо: "...понятия "больший", "меньший", "равный" не имеют места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и конечным".

Трудно более определенно сформулировать исходные предпосылки, которые были бы в противоречии не только с физикой и метафизикой Аристотеля, но и с математикой Евдокса - Евклида - Архимеда, т.е. в противоречии с методологическими основаниями античной науки в целом. Чтобы окончательно разрушить тот барьер, который Аристотель поставил проникновению актуально бесконечного в науку, чтобы доказать несостоятельность аристотелевского решения апорий Зенона и дать этим последним право гражданства в научной мысли, Галилей предпринимает еще одну дерзкую попытку. В ответ на возражение аристотелика Симпличио, что любую линию можно делить до бесконечности, но нельзя разделить на актуально бесконечное множество неделимых точек (ибо линия, по Аристотелю, не состоит из неделимых, как и всякий континуум, - будь то время или непрерывное движение), Галилей заявляет, что "разложение линии на бесконечное множество ее точек не только не невозможно, но сопряжено не с большими трудностями, чем разделение на конечные части". Производится же это разложение с помощью того самого предельного перехода от многоугольника с как угодно большим количеством сторон к многоугольнику с актуально бесконечным количеством сторон, т.е. к окружности, который обычно применяют и Кузанец, и Галилей. Предложенный Галилеем прием, по его словам, должен заставить перипатетиков "принять, что континуум состоит из абсолютно неделимых атомов".

Именно от Галилея, как можно видеть из приведенного рассуждения, исходит представление о круге как наглядно данной актуальной бесконечности, т.е. о линии, актуально разделенной на бесконечно большое число неделимых. Не только в науке, но и в философии нового времени круг становится символом актуальной бесконечности. Именно в этой роли мы встречаем его впоследствии у Гегеля, который противопоставляет актуально бесконечное как истинно бесконечное "дурной" - потенциальной бесконечности. Последняя для него воплощается в образе прямой линии, уходящей в бесконечность, а первая - в виде замкнутой линии, т.е. круга. Интересно, что при этом Гегель считает, что возвращается к исходным понятиям античной науки, прежде всего к Платону и Аристотелю, тогда как в действительности он стоит на почве, подготовленной Николаем Кузанским и Галилеем. В античности круг - это не образ актуально бесконечного, а образ целого, которое отнюдь не тождественно актуально бесконечному нового времени, хотя не один только Гегель произвел отождествление этих двух понятий.

В результате размышлений над проблемой бесконечного и неделимого Галилей, таким образом, приходит к выводу, что континуум состоит из неделимых атомов. Это утверждение возвращает его к той проблеме, в связи с которой он и предпринял свой анализ понятия бесконечного, а именно к проблеме связности частей твердого тела. Интересно, что теперь Галилей может отбросить ту вспомогательную гипотезу, к которой прибег в начале, - гипотезу о пустых промежутках в твердых телах. "...Приняв, что тела состоят из неделимых частиц, мы можем, как мне кажется, понять и явления разрежения и сгущения тел, не прибегая для объяснения первого к признанию пустых промежутков, а второго - к проникновению одних тел в другие".