Построение разностной схемы

Располагаем в области G и на границе Г произвольным образом N точек p₁, p₂, ... , p_N : из них n точек - внутри области G и (N-n) точек - на границе Г. Накладываем на систему базисных функций w₁(x,y), w₂(x,y), ... , w_N(x,y) условия - w_j(p_j )=1 и w_j(p_i )=0 при i¹j.

Подставляя выбранную таким образом систему базисных функций в представления (3) для каждой точки p_j, j=1, 2, ... , N получаем

U(p_j )=a₁ w₁(p_j )+ ... + a_j w_j(p_j )+ ... + a_n w_n(p_j )=a_j, j=1, 2, ... , n;

j(p_j )=a_n+1 w_n+1(p_j )+ ... + a_j w_j(p_j )+ ... + a_N w_N(p_j )=a_j, j=n+1, n+2, ... , N.

Поскольку значения потенциалов j(p_j ) задаются граничными условиями и являются известными, то уравнение (6) будет представлять собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений потенциалов внутренних точек U(p_j ):

=b_i, i=1, 2, ... , n; (7)

где b_i= , W_ij= (w_i , w_j ) .

Решение системы (7) и будет являться решением исходной задачи.