Для перехода от величины давления, выраженной в миллиметрах ртутного столба, к величине в миллибарах нужно ввести сомножитель 4/3; для обратного перехода – 3/4.

Рис. 1.2. Барометр-анероид М-110. Предназначен для измерения атмосферного давления воздуха. Диапазон измеряемого давления от 5 до 790 мм.рт.ст. Габаритные размеры: диаметр – 205 мм, высота – 125 мм

Плотность сухого воздуха определяется из уравнения состояния газа Менделеева-Клапейрона, рассматриваемого в курсе физики:

, (1.1)

где – плотность сухого воздуха (кг/м³), p – давление (Па), Т – абсолютная температура (К), R_d – удельная газовая постоянная сухого воздуха, равная 287 м²/(с²К).

Плотность влажного воздуха определяется по формуле, которая выводится из рассмотрения уравнений состояния газа, записанных раздельно для сухого воздуха и водяного пара:

, (1.2)

где е – парциальное давление водяного пара.

Последнее уравнение можно привести к виду

. (1.3)

Выражение в знаменателе (1.3) принято называть виртуальной температурой. Тогда (1.3) получает вид уравнения (1.1), в котором истинная температура заменяется виртуальной, т.е.

. (1.4)

Из (1.3) видно, что плотность влажного воздуха несколько ниже, чем сухого, поскольку водяной пар менее плотен, чем сухой воздух. При нормальном давлении и температуре воздуха 0о разница плотностей сухого и влажного воздуха составляет менее 0.25 %.

Плотность сухого воздуха ρ_d при температуре 0° и давлении 1000 гПа равна 1276 г/м³, а при давлении 1013 гПа – 1293 г/м³. С удалением от земной поверхности плотность атмосферного воздуха снижается. Так если у поверхности земли плотность сухого воздуха составляет в среднем 1293 г/м³, на высоте 100 км плотность менее 0,001 г/м³, на отметке 750 км – 10^-10 г/м³, а на высоте нескольких тысяч километров она ничтожно мала: атмосфера постепенно переходит в космическое пространство.

Барометрическая формула. Закон, по которому изменяется атмосферное давление с высотой, описывает барометрическая формула, или формула экспоненциальной атмосферы, известная со времен Лапласа (1749 – 1827).

Рассмотрим вертикальный столб воздуха с поперечным сечением, равным единице (рис.1.3). Силы, действующие на этот объем, направленные вниз, запишем со знаком минус, а направленные вверх – со знаком плюс.

Выделим в нем бесконечно тонкий слой толщиной dz, ограниченный снизу поверхностью на высоте z, и сверху – на высоте z + dz.

На нижнюю поверхность элементарного объема окружающий воздух давит снизу вверх с силой давления р (Па). На верхнюю поверхность смежный воздух действует с силой давления – (p + dp), направленной сверху вниз, где dp – изменение силы атмосферного давления при изменении высоты на dz.

Полагаем, что в горизонтальном направлении атмосферное давление не меняется, т.е. силы давления, действующие на боковые стенки, уравновешиваются и их равнодействующая равна нулю.

Воздух в рассматриваемом элементарном объеме создает силу тяжести –gdm направленную вниз (g – ускорение свободно падающего тела, dm – масса воздуха во взятом элементарном объеме). Так как площадь поперечного сечения, равна единице, то объем равен dz, а масса воздуха в нем равна ρdz (ρ – плотность воздуха). Следовательно, сила тяжести (–gdm) равна –ρgdz.

Рис. 1.3. Силы, действующие на элементарный объем воздуха

В неподвижной в атмосфере сила тяжести (вес) и силы давления уравновешиваются. Сумму всех этих трех сил приравняем нулю

, (1.5)

откуда следует

. (1.6)

Таким образом, с высотой атмосферное давление падает, причем разность давлений на нижнем и верхнем уровнях рассматриваемого элементарного объема равна весу воздуха в этом объеме.

Дифференциальное уравнение (1.6) носит название основного уравнения статики атмосферы. Разделив его обе части на массу элементарного объема ρdz, основное уравнение статики можно написать еще так:

(1.7)

или

(1.8)

Величина –dp/dz есть вертикальный барический градиент (вертикальный градиент давления). Он характеризует изменение силы давления при подъеме на единицу высоты. Знак минус означает, что давление уменьшается с увеличением высоты.

Так как есть масса рассматриваемого элементарного объема, то уравнение (1.8) может быть записано в виде

. (1.9)

Поскольку dp равно изменению атмосферного давления при изменении высоты на dz, то из (1.9) следует, что отношение силы dp к массе элементарного объема dm равно ускорению силы тяжести –g, направленному вниз. Из (1.9) следует также, что

. (1.10)

Иными словами, природа силы – сила тяжести рассматриваемой элементарной массы воздуха dm (формула 1.10 выражает закон тяготения, изученный Галилеем, и обобщенный как закон всемирного тяготения Ньютоном).

Проинтегрируем уравнение (1.6) в пределах от уровня z₁ с давлением р₁ до вышележащего уровня z₂ с давлением р_2. При этом необходимо учесть, что плотность воздуха (ρ) изменяется с высотой.. Представим плотность воздуха через температуру и давление с помощью уравнения состояния газов (1.1) ρ = p/RT. Подставив это значение в уравнение (1.6), получим

(1.11)

или

(1.12)

Интегрируем обе части уравнения (1.12) в пределах от р₁ до р₂ и от z₁ до z_2, и выносим постоянные g и R за знак интеграла:

или

(1.13)

Температура Т изменяется по высоте, причем эта функция не может быть точно выражена математически. По этой причине исходим из среднего значения температуры Т_m между уровнями z₁ и z₂. Определить Т_m можно с достаточным приближением, зная температуру на уровнях z₁ и z₂ и взяв среднее арифметическое. Итак, заменяя переменную Т постоянной величиной Т_m , вынося ее за знак интеграла, интегрируя правую часть (1.13) и преобразуя левую, получим

(1.14)

Потенцируя (1.14), получим:

(1.15)

Уравнение (1.14) или (1.15) представляют собой различную запись интеграла основного уравнения статики атмосферы, или барометрической формулы, которая показывает, как меняется атмосферное давление в зависимости от высоты и температуры воздуха.

Выше было показано, что бесконечно малая разность давлений на уровнях и равна весу элементарного объема воздуха сечением единица и толщиной dz. Отсюда понятно, что и разность давлений между нижним z₁ и верхним уровнем z₂ равна весу воздушного столба между ними.

С помощью барометрической формулы можно решить следующие задачи:

1) зная давление на одном уровне и среднюю температуру слоя воздуха, найти давление на другом уровне;

2) барометрическое нивелирование – зная давление на обоих уровнях и среднюю температуру слоя воздуха, найти разность уровней (ошибка этого метода до высоты 2000 м составляет не более 1 м);

3) зная разность уровней и величины давления на них, найти среднюю температуру столба воздуха.

Важным вариантом первой задачи, является приведение давления к уровню моря. Зная давление и температуру на некоторой высоте z над уровнем моря, вычисляют среднюю температуру в слое z, используя средний вертикальный градиент температуры. В тропосфере он принимается равным 0,6° на 100 м. После этого по давлению на высоте z и по полученной средней температуре определяется давление на уровне моря. В случае влажного воздуха в расчетах берется значение R_d для сухого воздуха, умноженное на (1+0,377e/p). Иначе говоря, берется R_d для сухого воздуха, но температура за­меняется виртуальной температурой (см. выше). Кроме того, используется соотношение для ускорения силы тяжести g, в зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря [12].

Подчеркнем, что на приземные синоптические карты всегда наносится давление, приведенное к уровню моря, чем исключается влияние различий в высотах станций на величины давления.

Барическая ступень. Запишем основное уравнение статики в виде:

. (1.16)

Величина dz/dp называется барической ступенью. Барическая ступень – величина, обратная вертикальному барическому градиенту –dp/dz, означающая превышение по высоте, при котором атмосферное давление падает на единицу. Из формулы (1.16) следует, что барическая ступень обратно пропорциональна величине давления и прямо пропорциональна абсолютной температуре воздуха. Чем больше высота (и чем, следовательно, ниже давление), тем больше барическая ступень. Элементарные расчеты по (1.16) показывают, что при температуре 0° и давлении 1000 гПа (напомним, 1 гПа=100 Па) барическая ступень равна 8 м/гПа. Следовательно, при давлении 1000 гПа у земной поверхности нужно подняться на 8 м, чтобы давление упало на 1 гПа. Другой пример [85]: на высоте около 5 км, где давление близко к 500 гПа, барическая ступень при температуре воздуха 0^оС (273^оК), равна 16 м/гПа. С изменением температуры барическая ступень растет на 0.4 % на каждый градус.

Подобные расчеты для не очень больших высот позволяют приводить давление воздуха к уровню моря.

Если в теплом и в холодном воздухе давление внизу одинаково, то в теплом воздухе, где барическая ступень больше, давление падает с высотой медленнее, чем в холодном. Поэтому на одинаковых высотах в теплом воздухе давление будет выше, чем в холодном. Отсюда следует важный вывод: теплые области в атмосфере являются в высоких слоях атмосферы областями высокого давления, а холодные области – областями низкого давления.

Распределение атмосферного давления по высоте, как это следует из выше изложенного, зависит от давления у поверхности и от распределения температуры воздуха с высотой. Для Европы давление на уровне моря в среднем равно 1014 гПа, на высоте 5 км – 538 гПа, 10 км – 262 гПа, 15 км – 120 гПа и 20 км – 56 гПа, т.е. убывает примерно в геометрической прогрессии, когда высота возрастает в арифметической прогрессии. Действительно, на уровне 5 км давление почти вдвое ниже, чем на уровне моря, на уровне 10 км – почти в четыре раза, на уровне 15 км – почти в 8 раз и на уровне 20 км – в 18 раз. Инструментальные наблюдения показывают, что давление меняется не только с высотой, но и в горизонтальной плоскости, а также непрерывно изменяется во времени.

Изменения давления во времени. Атмосферное давление в каждой точке атмосферы непрерывно изменяется. Изменения давления в основном носят непериодическийхарактер. Амплитуда колебаний среднесуточного давления увеличивается от экватора к умеренным и высоким широтам. Суточный ход давления ярче выражен в тропических широтах. В суточном ходе максимальные значения наблюдаются дважды в сутки – около 9 – 10 и 21– 22 часов по местному времени, а минимальные – около 3 – 4 и 15 – 16 часов (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Средний суточный ход атмосферного давления в Индийском океане [85].

При метеорологических наблюдениях вычисляют барическую тенденцию – величину изменения давления за последние 3 часа перед сроком наблюдений. От тропиков к полюсам амплитуда суточных колебаний убывает от 2 – 4 гПа до десятых долей миллибара, в средних и полярных широтах более значительны непериодические колебания давления.

Причины суточного хода давления связаны с суточным ходом температуры воздуха, собственными упругими колебания атмосферы, возбуждаемыми колебаниями температуры; влияют также приливные волны в атмосфере.

Междусуточная изменчивость давления – это средняя многолетняя величина изменения давления за сутки. У земной поверхности в умеренных широтах средняя междусуточная изменчивость давления в средних и высоких широтах составляет 3 – 10 гПа. Она увеличивается при усилении циклонической деятельности, обычно зимой. В тропиках междусуточная измен­чивость давления составляет десятые доли миллибара, что значительно меньше амплитуды суточного хода. Междусуточная изменчивость давления в умеренных широтах значительна во всей толще тропосферы. В течение года в среднем колебания давления в умеренных широтах достигают 50 – 80 гПа,под экватором примерно 10 – 15 гПа.

В Барнауле в январе 1900 г. наблюдалось давление, которое после приведения к уровню моря оказалось равным 1080 гПа, а в центре тайфуна над Японией в сентябре 1934 г. было отмечено давление на уровне моря. 884 гПа [85], разница составляет 196 гПа.