Теоретична частина. Застосування перетворень Фур’є в ідентифікації та моделюванні технологічних процесів.

Лабораторна робота №1

Застосування перетворень Фур’є в ідентифікації та моделюванні технологічних процесів.

Мета роботи:вивчення та застосування перетворень Фур’є при рішенні задач ідентифікації.

Теоретична частина

Двовимірне перетворення Фур'є — це не просто математична абстракція, воно корисне в багатьох прикладних задачах, включаючи обробку зображень. Під зображеннямми розуміємо двовимірну таблицю, елементи якої відповідають рівням яскравості фотографії в точці з декартовими координатами де h – розмір елементарної комірки (роздільна здатність) зображення. Ця проста модель зображення досить задовільна при аналізі фотографій поверхні Землі й інших планет, зроблених з космосу.

Перетворення Фур'є дозволяє значно скоротити кількість інформації, яку необхідно використати для відновлення зображення. Звичайно досить запам'ятати лише трохи перших гармонік (коефіцієнтів Фур'є), щоб відтворити зображене прийнятної точності за допомогою оберненого перетворення Фур'є:

Точка над y вказує на те, що тільки приблизно співпадають з у випадку коли

Виявляється, що в багатьох практичних ситуаціях точність такої апроксимації є досить високою, навіть коли К, L значно більше, ніж . В якості прикладу обговоримо використання перетворення Фур'є для стиснення інформації при дослідженні форми морської поверхні. Скористаємося ідеалізованою моделлю припускаючи, що рівень контрастності в будь-якій точці пропорційний висоті морській хвилі. Припустимо також, що довжина хвилі рівна р в деякому напрямку й q перпендикулярному до його направлення, це означає, що:

де А – амплітуда води.

Легко перевірити, що V(j,m)=A , якщо і нулю в інших випадках (для простоти ми припустимо, що - цілі числа). Таким чином, для відновлення цього зображення достатньо знати три числа

У випадку довільного масиву відкидання членів з великими значеннями k i l в сумі (11) приводить до більш згладженому зображенні, ніж початкове. Це скоріше позитивна властивість, оскільки дрібномасштабні флуктуації зазвичай викликані шумом і їх знищення при обробці приводить до поліпшення якості зображення.

Одномірне дискретне пряме й зворотне перетворення Фур'є:

Синтаксис:

Y=fft(X) X=ifft(Y)

Y=fft(X,n) X=ifft(Y,n)

Опис:

Дискретні пряме й зворотне перетворення Фур'є для одномірного масиву x довжини N визначаються в такий спосіб:

Функція Y=fft(X) обчислює для масиву даних X дискретне перетворення Фур'є, використовуючи FFT-алгоритм швидкого Фур'є-перетворення. Якщо масив X двовимірний, обчислюється дискретне перетворення кожного стовпця.

Функція Y=fft(X,n) обчислює n-крапкове дискретне перетворення Фур'є. Якщо length(X) < n, то відсутні рядки масиву X заповнюються нулями; якщо length(X) > n, те зайві рядки віддаляються.

Функція X=ifft(Y) обчислює зворотне перетворення Фур'є для масиву Y.

Функція X=ifft(Y,n) обчислює n-крапкове зворотне перетворення Фур'є для масиву Y.

Завдання:

Варіант № 7

№ п/п	Вид сигналу (функція)	Частоти регулярних складових сигналу, Гц	Частота передачі даних, Гц	Час передачі, сек.	Рівень перешкод
			t	n
7.					0.8

Розглянемо дані, що надходять із частотою 1000 Гц. Сформуємо сигнал, що містить регулярні складові із частотами 80 Гц й 120 Гц і випадкову адитивну компоненту з нульовим середнім.

t=0:0.001:0.8;

x=sin(2*2*pi*80*t) + cos(2*2*pi*120*t)

y=x+2*randn(size(t));

plot(y(1:50),'red'), grid;

Рис 1

Реалізуючи одномірне перетворення Фур'є цього сигналу на основі 512 крапок і побудувавши графік спектральної щільності, можна виділити дві частоти, на яких амплітуда спектра максимальна. Це частоти 120 й 80 Гц.

Y=fft(y, 512);

Pyy=Y.*conj(Y)/512;

f=1000*(0:255)/512;

figure(2), plot(f, Pyy(1:256),'red'), grid

Якщо довжина вхідної послідовності не є ступенем числа 2, то застосовується перетворення зі змішаними підставами, які визначаються як прості множники довжини вхідної послідовності, що при необхідності піддається усіканню.

Рис.2

Розглянемо той же приклад, що й для функції fft, але сформуємо 2 вхідні послідовності.

t=0:0.001:0.8;

x=sin(2*2*pi*80*t) + cos(2*2*pi*120*t);

y1=x+2*randn(size(t));

y2=x+2*randn(size(t));

y=[y1;y2];

plot(y(1,1:50),'red'),hold on, plot(y(2,1:50),'green'), grid, hold off

Мал.3

Тепер можна виділити 2 частоти, на яких амплітуда спектра максимальна. Це частоти – 100/2Гц й 240/2Гц.

Мал. 4

Контрольні запитання

1. Поясніть відмінності між видами перетворень Фур'є.

2. Дайте характеристику швидкого перетворення Фур'є.

3. Що називається дискретним перетворенням Фур'є?

4. Поясніть що таке пряме та зворотнє перетворення Фур'є.

5. Поясніть що таке одновимірне та двовимірне перетворення Фур'є.