Исследование возможностей практического применения интегрированных систем символьной математики для решения задач навигации

Краткие теоретические сведения

Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, сознанная фирмой Waterloo Maple Irtc (Канада) Эта система на сегодня является лучшей математической системой компьютерной алгебры для персональных компьютеров, имеющей большое число встроенных функций, обширные библиотеки расширения и богатейшие графические возмож­ности, с блеском решающие задачи наглядной визуализации сложнейших мате­матических расчетов

Maple предназначена для решения огромного числа задач вообще без какого-либо их программирования в общепринятом смысле этого понятия. Достаточно лишь описать алгоритм задачи и разбить его на вопросы, на которые система Maple способна дать ответы. Более того, есть тысячи задач, алгоритмы решения которых уже реализованы функциями и командами системы. Тем не менее, это вовсе не означает, что система Maple не относится к системам программирова­ния. Более того, на самом деле эта мощная современная система программирова­ния основана ни трех языках — входном, реализации и программирования.

Maple имеет входной язык сверхвысокого уровня, ориентированный на решение математических задач практически любой сложности. Он служит для задания системе вопросов или, говори иначе, задания исходных данных для последующей их обработки. Это язык интерпретирующего типа и по идеологии работы с ним напоминает Бейсик. Входной язык имеет большое число заранее определенных математических и графических функций, а также обширную библиотеку расширения системы.

Имеет Maple и свой язык процедурного программирования — Maple-язык Этот язык, будучи частью входного языка, имеет вполне традиционные средства для подготовки на основе принципов структурного полхода типовых задач программи­рования циклы, условные и безусловные переходы, операторы сравнения, логи­ческие операторы, команды управления внешними устройствами, функции пользователя, процедуры и т.д. Но, помимо этих возможностей, языку Maple доступны все специальные операторы и функции, которыми располагает система. Многие из них заменяют весьма серьезные программы — например, символьного дифференцирования, интегрирования, разложения в ряд Тейлора, построение сложных трехмерных графиков и т.д.

Пользовательский интерфейс Maple позволяет готовить документы в стиле Notebook (блокнот), содержащие одновременно текстовые комментарии, задания а виде функции в командной строке (с возможным преобразованием в естественную математическую форму, результаты вычислений в виде обычных математических формул и графические данные Это обеспечивает высокую сте­пень визуализации как исходных данных, так и результатов вычислений

В основе пользовательского интерфейса Maple лежит графический интер­фейс операционной системы. Windows. Интерфейс Maple является многооконным Управление системой возможно с помощью главного меню, панелей с кнопками быстрого управления и «горячими» клавиша­ми Реализуются многие возможности графического манипулятора — мыши, пожалуй, за исключением метола перетаскивания мышью объектов.

Запуск системы производится указанием на ярлык (или соответствующую позицию пункта меню программ) курсором мыши и быстрым двойным нажатием левой клавиши.

Рассмотрим особенности диалога с системой и синтаксис ее входного языка – т.е. задания системе вопросов. Диалог идет в стиле задал вопрос — получил ответ. Вопросы и ответы занимают отдельные блоки, выделяемые в левой части квадратными скобками. Длина квадратных скобок зависит от размера выражений — исходных (вопроса) и результатов вычислений (ответов на вопросы). Знак > является знаком пригла­шения к заданию вопроса. Мигающая вертикальная черта | — маркер ввода.

Оператор присваивания в системе :=, для задания констант и логических русловий используется =. Переход на новую строку осуществляется нажатием <Enter>, либо <Shift Enter>.

Числа могут быть целыми, обыкновенными дробями, радикалами, числами с плавающей точкой и комплексными. Первые три типа чисел позволяют выполнять точные вычисления, без округлений, разнообразных математиче­ских выражений, реализуя точную арифметику, что отличает все системы аналитических вычислений, в том числе и Maple, от систем, предлагающих численные решения математических задач, например. MathCad и Matlab. Числа с плавающей точкой являются приближенными, в которых число значащих цифр ограничено. Эти числа служат для приближения, или ап­проксимации, точных чисел Maple. Комплексные числа могут быть как точ­ными, если действительная и мнимая части представлены точными числа­ми, так и приближенными, если при задании действительной и мнимой частей комплексного числа используются числа с плавающей точкой.

Целые числа задаются в виде последовательности цифр от О до 9. Отрица-телые числа задаются со знаком минус (-) перед числом, нули перед пер­вой ненулевой цифрой являются не значащими и не влияют на величину целого числа. Вычисления с целыми числами достаточны просты и реализуют четыре арифметических действия (сложение +, вычитание -, умножение *, деление /) и вычисление факториала (!):

Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления двух целых чи­сел. Заметим, что Maple автоматически производит операцию сокращения дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнить все основные арифметические операции.

Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или пробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt(), или вычисления корня n-ой степени с помощью функции surd(число,n). В Maple операция возведения в степень задается символом ^ или последовательностью из двух звездочек **. При возведении в степень дробей их следует заключать в круглые скобки, как. впрочем, и дробный показатель степени. При задании радикалов также производятся возможные упрощения, связанные с вынесением из-под знака радикала максимально возможной величины.

Каждая переменная Maple имеет имя, представляющее последовательность латинских символов, начинающихся с буквы, причем строчные и пропис­ные буквы считаются различными. (Про такие системы говорят, что они чувствительны к регистру.) Кроме букв в именах переменных могут исполь­зоваться также цифры и знак подчеркивания, однако первым символом в имени должна быть буква. Примеры различных имен: Myname, MyName, My_name.

Выражение представляет собой комбинацию имен переменных, чисел и, возможно, других объектов Maple, соединенных знаками допустимых опера­ций Единственным предназначением выражения является его вы­числение и получение некоего результата, который можно использовать в операторах языка Maple при дальнейших вычислениях.

Если в выражении используется переменная, которой не присвоено ника­кого числового или строкового значения, го такая переменная рассматрива­ется системой Maple как некая неизвестная величина, а выражение, содер­жащее неизвестные, называется символьный выражением. Именно для рабо­ты с такими выражениями, прежде всего и разрабатывался Maple:

Важной операцией в Maple, связанной с выражениями, является операция присваивания :=. Она имеет следующий синтаксис:

Переменная:=выражение;

Для некоторых команд существуют две формы: активная и пассивная. В слу­чае вызова активной формы команды, которая немедленно будет выполне­на, ее имя начинается со строчной буквы. Пассивная форма команды не выполняется немедленно ядром Maple, а просто в области вывода отобража­ет математическую запись. Ее имя начинается с прописной буквы. В дальнейшем, если в операторе присваивания дли не­которой переменной в правой части задана пассивная форма команды, то командой value ее можно вычислить. Однако основное предназначение пассивных форм команд — использование их как средства документирова­ния производимых действий в обычной математической нотации. Примера­ми команд с двумя формами являются команда дифференцирования (diff и Diff), интегрирования (int и Іnt) и др.

1. Вычисление производных и интегралов

2. Вычисление предела

Команда вычисления предела имеет 2 формы, одна из которых limit() вычисляет предел, а вторая — отложенная — служит для отображения на рабочем листе и в тексте комментариев математической записи предела и отличается от вычисляемой команды только именем, начинающимся с про­писной буквы, — Limit и ft синтаксис этих команд следующий:

limit (f, х=а [,dir]);

Limit(f, х=а [,dir]);

3. Вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо использовать команду

4. Решение уравнений

5. Решение дифференциального уравнения

7. Построение графиков

> plot(cos(x) + sin(x), x=0..Pi);

plot(tan(x), x=-Pi..Pi);

plot([sin(t), cos(t), t=-Pi..Pi]);