Классификация бинарных отношений.

Пусть R - бинарное отношение, RÌY´X, где Y, X - таблицы (т.е. снова отношения)

1) R - отношение "один-ко-многим", если каждому x соответствует в нем не более одного y, " xÎ X, " y,y' Î Y (R(x,y) & R(x,y') à y=y')

Пример. Отношение «человек x живет в доме y». В одном доме могут жить много людей, но каждый живет (прописан) в одном.

В этом случае таблицу Y называют материнской или родительской (parent), а таблицу X - дочерней или потомком (child).

2) R - отношение "один-ко-одному", если каждому x соответствует не более одного y, и наоборот, " xÎ X, " y,y' Î Y (R(x,y) & R(x,y') à y=y')

Пример. Супружество, отношение «x женат на y» (европейский вариант). Каждый мужчина имеет не более одной жены и наоборот.

3) Оставшиеся отношения называют отношениями "многие-ко-многим"

Пример. Отношения знакомства - люди имеют много знакомых, которые, в свою очередь, тоже имеют много знакомых.

Заметим, что в последнем случае мы также имеем пример отношения - подмножества декартов квадрата, т.е. декартова произведения множества с самим собой. Такие отношения мы будем называть рефлексиями (не путать - рефлексивным отношением называют отношение, содержащее тождественное отношение).

Нетрудно заметить, что на деле эти определения соответствуют определению (графика) функции, 1-1 функции и собственного (т.е. не функционального) отношения.

Очень полезный, но реже употребляемый на практике, в силу вычислительной сложности, количественный подход к классификации отношений предусматривает оценку чисел N,M - "N записей одной таблицы может находиться в данном отношении с не более, чем M записями другой таблицы". Пропорцию N:M называют кардинальностью отношения.

В силу упомянутой выше большей простоты восприятия понятия функции, отношения "один-ко-многим" наиболее популярны в СУБД. Отношения "многие-ко-многим" трудны для восприятия и обработки - как правило, их стараются разложить, представить в виде соединения нескольких отношений "один-ко-многим". Отношения "один-к-одному" также достаточно редки - взаимно-однозначное соответствие "сущностей" обычно воспринимается нами как одна "сущность". Наличие связи "один-к-одному" означает (как правило), что удобнее иметь дело не с двумя, а с одним отношением (их композицией по этому соответствию).

Не случайно, в классической теоретико-множественной математики, как мы знаем, взаимно-однозначное соответствие составляет основу всякого отождествления. Заметим правда, что в приведенных выше определениях не требовалась всюду определенность (тотальность) определяемых функций. Так, весьма популярное в математике отношение "быть подмножеством" - пример отношения "один-ко-одному". В СУБД такая связь чаще применяется в случаях, когда лишь небольшое число записей одной таблице имеет соответствие в другой (т.е. является аналогом отношения “быть подмножеством”).