Решение уравнения Шредингера и дискретность энергетических уровней электрона в атоме.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнение Шредингера.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е₁, Е₂, Е₃…, показаны на рис.23.2 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, —основной, все остальные (Е_n > Е₁, n = 2, 3, ...) —возбужденные. Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n = ¥ E_¥ = 0. При Е > 0 движение электрона являетсясвободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 23.2) соответствуетионизованному атому.

Собственные значения оператора квадрата момента импульса равнs

(l=0,1,2,….)

(23.5.1)

где l-квантовое число, называемое азимутальным.

Модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения, определяемые формулой

, (l=0,1,2,….)

(23.5.2)

Оператор проекции момента импульса на ось OZ

, (m=0,±1,±2,….)

(23.5.3)

где m – магнитное квантовое число. Таким образом,магнитное квантовое число m определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц. Суммарный момент, как и всякий момент, определяется

,

(23.5.4)

где l – азимутальное квантовое число результирующего момента.

Расщепление спектральных линий называется тонкой структурой. Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, американские физики Д. Уленбек и С. Гаудсмит предположили, что у электрона помимо момента импульса L и соответствующей ему проекции момента импульса на ось OZ L_z имеется собственный механический момент импульса L_s , называемый спином электрона. Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L_s то ему соответствует собственный магнитный момент L_sz. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону:

(23.5.5)

где s-спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L_sz спина квантуется так, что векторL_s может принимать 2s+1 ориентации. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением:

(23.5.6)

где m_s —магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: т_s=±1/2.

Таким образом, экспериментальные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водородоподобных систем сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze

(23.5.7)

где r – расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

(23.5.8)

где m – масса электрона, Е - полная энергия электрона в атоме, е – заряд электрона.

Данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

. (23.5.9)

Случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра, т.е. свободному электрону. Случай соответствует электрону, движущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным, все остальные – возбужденными. Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.

Собственные функции уравнения (23.5.8), представленные в сферической системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n, орбитальное число l и магнитное число m

.

Главное число n определяет энергетический уровень электрона в атоме в соответствии с формулой (23.5.9) и может принимать любые положительные целочисленные значения.

Орбитальное число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент импульса квантуется по правилу

. (23.5.10)

При заданном n орбитальное число может принимать значения

. (23.5.11)

Магнитное число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения

где m – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

.

Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве возможных ориентаций.

Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

Согласно (23.5.9) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии (кроме ) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется путем подсчета возможных значений l и m. Каждому значению квантового числа l соответствует значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

. (23.5.12)

В атомной физике применяется условное обозначение состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с называется s-электроном (соответствующее состояние – s-состоянием), с – p-электроном, с – d-электроном, с – f-электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l. Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона:

1s,

2s, 2p,

3s, 3p, 3d

и т.д.

Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что для орбитального квантового числа имеется правило отбора

. (23.5.13)

Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l меняется на единицу. Правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином s). Его величина вычисляется по общему правилу (23.5.10), где вместо l следует использовать . Данное значение определяет максимальную величину проекции спина на избранное направление. Испускание или поглощение фотона, согласно закону сохранения момента импульса, приводит к изменению момента импульса атома, согласно с правилом (23.5.13).

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора, рассмотрим спектральные линии атома водорода:

серии Лаймана соответствуют переходы:

;

серии Бальмера соответствуют переходы:

и ,
и т.д.

Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне., например, за счет поглощения атомом фотона.