Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Анализ переходных процессов в электрических цепей постоянного тока методом переменных состояния.




Лекция 5-2014

Рассматриваемые вопросы:

 

2.8. Переходные процессы в линейных электрических цепях постоянного тока (методы переменных состояния и операторный)

 

Анализ переходных процессов в электрических цепей постоянного тока методом переменных состояния.

Из всех известных методов расчета переходных процессов наиболее физичным является метод пространства состояний. Этот метод позволяет одновременно получать все интересующие нас величины токов и напряжений.

Переменные состояния представляют собой систему наименьшего числа внутренних независимых величин необходимых для полного определения поведения динамической системы. Переменные состояния – это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они определяют состояние системы. В математической форме уравнения состояний для сложной цепи имеют вид:

x (t) – вектор состояния (размерность n);

A – матрица состояния (размерность n×n );

BU(t) – вектор-столбец (размерность n);

D(x,t) – расширенная матрица.

Сначала рассмотрим составление уравнения состояния на простейших цепях первого порядка (рис. 2.57). Вектором состояния является напряжение на конденсаторе после коммутации. Запишем второй закон Кирхгофа.

 

 

Рис. 2.57

 

.

 

Перепишем это уравнение относительно производной .

или

.

 

Такой вид уравнения называется нормальным. Таким образом, дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной называется нормальным.

Рассмотрим еще один пример. Определим ток через индуктивность (рис. 2.58).

 

 

 

Рис. 2.58

 

В данном случае вектором состояния является ток через индуктивность. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

.

 

Разрешаем это уравнение относительно производной и получаем уравнение в нормальной форме

 

,

или

.

 

Рассмотрим пример для цепи второго порядка. Вектором состояния являются переменные

 

 

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

Разрешим эту систему относительно производных, то есть запишем в нормальном виде

 

Выпишем матрицу состояния:

 

,

, .

 

Что бы проверить правильность составление матрицы состояния, нам нужно проверить ее собственные числа

 

или

,

откуда

.

 

Если все сделано правильно, то это уравнение совпадает с уравнением входного сопротивления схемы

 

.

Отсюда

или

.

 

Проверим столбцовую матрицу

 

.

Результат должен дать вынужденные составляющие напряжения на конденсаторе и ток через катушку индуктивности.

Пример 2.14. Для электрической цепи, изображенной на рисунке, определить ток iL (t) в катушке индуктивности и напряжения uC1(t) и uC2(t) на конденсаторах после включе- ния ЭДС, если Е = 100 В, R1 = 20 Ом, R2 = 100 Ом, С1 = 20 мкФ, L =0,01 Гн.

 

Решение. Запишем уравнения, связывающие токи iC1, iC2 и напряжение uL1 с напряжениями на конденсаторах и током индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирхгофа. В нашем примере матрицы x(t), A и BU (t) будут равны

 

 

, , .

 

После подстановки числовых значений получаем:

 

, .

 

После определения матриц A и BF необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через входное сопротивление схемы:

 

 

Корни характеристического уравнения p1, p2, p3 должны полностью совпасть с собственными числами λ1, λ2, λ3 матрицы состояния А

.

 

Затем следует проверить вынужденные составляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:

 

.

 

С помощью матричных соотношений их легко проверить:

 

 

Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 120; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты